مسئلهٔ بهینه‌سازی: مسئله‌ای که در آن مقدار یک کمیت با رعایت شرایط داده‌شده بیشینه یا کمینه می‌شود.

مسئله بهینه‌سازی: چگونه مقدار یک کمیت را با رعایت شرایط، بیشینه یا کمینه کنیم؟

۱. تعریف بهینه‌سازی و اجزای اصلی آن

در زندگی روزمره و علوم مختلف، اغلب به دنبال بهترین جواب ممکن هستیم: کمترین هزینه، بیشترین سود، کوتاه‌ترین مسیر یا حداکثر مساحت. به این فرآیند، بهینه‌سازی¹ می‌گوییم. یک مسئله بهینه‌سازی از سه جزء اصلی تشکیل شده است:

• تابع هدف²: عبارتی ریاضی که کمیتی را که می‌خواهیم بیشینه یا کمینه کنیم، نشان می‌دهد. معمولاً با $f(x)$ یا $P(x,y)$ نمایش می‌دهیم.
• متغیرهای تصمیم³: مقادیری که می‌توانیم آن‌ها را تغییر دهیم (مانند $x$ و $y$).
• قیدها⁴: محدودیت‌هایی که متغیرها باید رعایت کنند. این قیدها معمولاً به صورت معادله یا نامعادله نوشته می‌شوند.

مثال علمی ساده: فرض کنید می‌خواهید با $20$ متر سیم حصار، بیشترین مساحت ممکن را برای یک زمین مستطیلی محصور کنید. در اینجا تابع هدف، مساحت $A = \text{طول} \times \text{عرض}$ است و قید، محیط برابر با $20$ متر است.

۲. دسته‌بندی مسائل بهینه‌سازی بر اساس قیدها و خطی بودن

مسائل بهینه‌سازی را می‌توان از چند دیدگاه طبقه‌بندی کرد. آشنایی با این دسته‌بندی به انتخاب روش حل مناسب کمک می‌کند.

در سطح دبیرستان، بیشتر با مسائل بهینه‌سازی خطی (برنامه‌ریزی خطی⁹) و همچنین مسائل غیرخطی ساده (مانند بیشینه مساحت و کمینه فاصله) سروکار داریم.

۳. گام‌های حل یک مسئله بهینه‌سازی (با مثال عملی)

برای حل یک مسئله بهینه‌سازی، می‌توان از چهار گام زیر پیروی کرد:

1. شناسایی متغیرها و تابع هدف: کمیتی که باید بیشینه/کمینه شود را مشخص کرده و آن را بر حسب متغیرها بنویسید.
2. نوشتن قیدها: تمام محدودیت‌های مسئله را به صورت معادله یا نامعادله بیان کنید.
3. کاهش تعداد متغیرها با استفاده از قیدها: اگر قید به صورت معادله است، یک متغیر را بر حسب دیگری بنویسید و در تابع هدف جایگزین کنید.
4. یافتن نقاط بحرانی: مشتق تابع هدف (پس از کاهش) را صفر قرار داده و نقاط را بیابید. سپس با کمک مشتق دوم یا آزمون مرزها، نوع بیشینه یا کمینه بودن را تعیین کنید.

مثال علمی گام‌به‌گام: یک تولیدکننده جعبه می‌خواهد از یک ورق مقوایی به ابعاد $40$ سانتی‌متر در $40$ سانتی‌متر، با بریدن چهار مربع مساوی از گوشه‌ها و تا کردن لبه‌ها، یک جعبه بدون درب بسازد. می‌خواهیم بیشترین حجم جعبه را پیدا کنیم.

• گام $1$: فرض کنیم طول ضلع مربع بریده شده، $x$ سانتی‌متر باشد. ارتفاع جعبه برابر $x$، طول و عرض جعبه برابر $40 - 2x$ خواهد بود. تابع هدف: حجم $V(x) = x(40-2x)^2$.
• گام $2$: قید مسئله از واقعیت فیزیکی می‌آید: $x \ge 0$ و $40 - 2x \ge 0 \Rightarrow x \le 20$. بنابراین $0 \le x \le 20$.
• گام $3$: نیازی به کاهش نیست، تنها یک متغیر $x$ داریم.
• گام $4$:$V'(x) = (40-2x)^2 + x \cdot 2(40-2x)(-2) = (40-2x)[(40-2x) - 4x] = (40-2x)(40-6x)$. صفر کردن مشتق: $40-2x=0 \Rightarrow x=20$ (حجم صفر می‌دهد)، $40-6x=0 \Rightarrow x=\frac{40}{6} \approx 6.67$. با مشتق دوم یا آزمون مقدار در مرزها، این نقطه حداکثر حجم را می‌دهد. بیشترین حجم: $V(6.67) \approx 6.67 \times (40-13.33)^2 \approx 6.67 \times (26.67)^2 \approx 4741$ سانتی‌متر مکعب.

۴. کاربرد عملی: بهینه‌سازی سود یک کارگاه کوچک

فرض کنید یک کارگاه تولیدی دو نوع محصول A و B می‌سازد. سود هر واحد محصول A، $5$ هزار تومان و سود هر واحد محصول B، $4$ هزار تومان است. ساخت هر واحد A به $2$ ساعت کار و $1$ واحد مواد اولیه نیاز دارد. ساخت هر واحد B به $1$ ساعت کار و $3$ واحد مواد اولیه نیاز دارد. روزانه حداکثر $100$ ساعت کار و $120$ واحد مواد اولیه موجود است. می‌خواهیم سود روزانه را بیشینه کنیم.

• متغیرها:$x$ = تعداد محصول A، $y$ = تعداد محصول B.
• تابع هدف:$P(x,y) = 5x + 4y$ (هزار تومان).
• قیدها: $2x + y \le 100$ (محدودیت ساعت کار)، $x + 3y \le 120$ (محدودیت مواد اولیه)، $x \ge 0$، $y \ge 0$.

این یک مسئله برنامه‌ریزی خطی است. برای حل، فضای شدنی (ناحیه‌ای که همه قیدها را برآورده می‌کند) رسم کرده و سپس یکی از روش‌های زیر را به کار می‌بریم:

• روش رأس‌ها: در بهینه‌سازی خطی، جواب بهینه همواره در یکی از رأس‌های ناحیه شدنی رخ می‌دهد.
• رأس‌ها: $(0,0)$، $(50,0)$، $(0,40)$ و محل تقاطع دو خط: حل دستگاه $2x+y=100$ و $x+3y=120$ که $x=36$ و $y=28$ می‌دهد.
• مقدار سود در هر رأس: $P=0$، $P=5\times50=250$، $P=4\times40=160$، $P=5\times36 + 4\times28 = 180 + 112 = 292$.
• بیشترین سود، $292$ هزار تومان، با تولید $36$ واحد A و $28$ واحد B حاصل می‌شود.

۵. چالش‌های مفهومی

۶. جمع‌بندی

پاورقی