ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی توابع
تعریف دقیق ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی
فرض کنید $f$ تابعی باشد که روی بازهٔ $I$ تعریف شده است. نقطهٔ $c$ درون این بازه را در نظر بگیرید. اگر همسایگی2 مانند $(c-\delta , c+\delta)$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر $x$ در این همسایگی داشته باشیم:
$f(x) \ge f(c)$ ، آنگاه $f(c)$ یک مینیمم نسبی نامیده میشود.
به عبارت سادهتر، اگر در نقطهای از تابع، تمام نقاط اطراف آن (چپ و راست) مقدار کوچکتر یا مساوی داشته باشند، آن نقطه یک قلهٔ محلی یا ماکزیمم نسبی است. اگر تمام نقاط اطراف مقدار بزرگتر یا مساوی داشته باشند، آن نقطه یک درهٔ محلی یا مینیمم نسبی است.
تفاوت ماکزیمم نسبی با ماکزیمم مطلق
یکی از رایجترین اشتباهات، یکی گرفتن ماکزیمم نسبی با ماکزیمم مطلق است. ماکزیمم مطلق در کل دامنه تابع، بزرگترین مقدار ممکن است. اما ماکزیمم نسبی فقط در یک همسایگی کوچک بزرگترین مقدار است. ممکن است تابع نقاط ماکزیمم نسبی متعددی داشته باشد که هیچکدام ماکزیمم مطلق نباشند.
| ویژگی | ماکزیمم نسبی | ماکزیمم مطلق |
|---|---|---|
| دامنه مقایسه | همسایگی کوچک حول نقطه | کل دامنه تابع |
| تعداد نقاط ممکن | چندین نقطه | حداکثر یک نقطه |
| رابطه با نقاط دیگر | فقط از نقاط همسایگی بزرگتر است | از همه نقاط دامنه بزرگتر یا مساوی است |
روش یافتن نقاط بحرانی با استفاده از مشتق
برای یافتن نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی توابع پیوسته و مشتقپذیر، از مشتق اول استفاده میکنیم. نقاطی که مشتق اول در آنها صفر شود یا مشتق وجود نداشته باشد، نقاط بحرانی3 نامیده میشوند. این نقاط کاندیدای ماکزیمم یا مینیمم نسبی هستند.
۱. تابع $f(x)$ را در نظر بگیرید.
۲. مشتق اول یعنی $f'(x)$ را محاسبه کنید.
۳. معادلهٔ $f'(x)=0$ را حل کنید تا نقاط بحرانی به دست آیند.
۴. با استفاده از آزمون مشتق اول یا دوم، نوع هر نقطه بحرانی (ماکزیمم، مینیمم یا نقطه عطف) را مشخص کنید.
آزمون مشتق اول: اگر مشتق در سمت چپ نقطه بحرانی مثبت و در سمت راست منفی باشد، نقطه ماکزیمم نسبی است. اگر مشتق در سمت چپ منفی و در سمت راست مثبت باشد، نقطه مینیمم نسبی است. اگر علامت مشتق تغییری نکند، نقطه عطف4 است.
کاربرد عملی: بهینهسازی هزینه در یک شرکت تولیدی
فرض کنید یک شرکت تولیدکنندهٔ نوشیدنی، تابع هزینهٔ تولید روزانه را به صورت $C(x)=2x^3 - 15x^2 + 36x + 100$ مدلسازی کرده است که در آن $x$ تعداد محصولات تولید شده (به هزاران عدد) و $C$ هزینه به میلیون ریال است. شرکت میخواهد بداند در چه سطح تولیدی، هزینه به کمترین مقدار نسبی خود میرسد (مینیمم نسبی).
ابتدا مشتق اول را میگیریم: $C'(x)=6x^2 - 30x + 36$. معادلهٔ $6x^2-30x+36=0$ را حل میکنیم. تقسیم بر $6$: $x^2-5x+6=0$ که ریشههای آن $x=2$ و $x=3$ هستند. با استفاده از آزمون مشتق دوم: $C''(x)=12x-30$. در $x=2$، $C''(2)=24-30=-6 \lt 0$ پس ماکزیمم نسبی است. در $x=3$، $C''(3)=36-30=6 \gt 0$ پس مینیمم نسبی است. بنابراین در سطح تولید 3000 واحد (چون $x$ بر حسب هزار است)، هزینه به کمترین مقدار نسبی خود میرسد.
چالشهای مفهومی
۱. آیا هر نقطهای که مشتق اول در آن صفر شود، حتماً ماکزیمم یا مینیمم نسبی است؟
خیر. نقطهٔ $x=0$ در تابع $f(x)=x^3$ را در نظر بگیرید. مشتق اول $f'(x)=3x^2$ در $x=0$ صفر میشود اما این نقطه نه ماکزیمم نسبی است و نه مینیمم نسبی، بلکه یک نقطه عطف است. شرط لازم برای نقاط اکسترمم5 نسبی، صفر بودن مشتق اول یا وجود نداشتن مشتق است، اما شرط کافی نیست.
۲. آیا یک تابع میتواند در یک نقطه هم ماکزیمم نسبی و هم مینیمم نسبی باشد؟
بله، اما فقط در حالت خاصی که تابع در آن نقطه ثابت باشد. به عبارت دیگر، اگر در یک همسایگی، مقدار تابع همواره برابر با یک عدد ثابت باشد، آن نقطه هم شرایط ماکزیمم نسبی و هم شرایط مینیمم نسبی را برآورده میکند (چون هم $f(x) \le f(c)$ و هم $f(x) \ge f(c)$ برقرار است). تابع ثابت روی یک بازه، نمونهٔ بارز این حالت است.
۳. چگونه میتوان ماکزیمم نسبی را در نقاطی که تابع مشتقپذیر نیست تشخیص داد؟
برای نقاطی که تابع مشتقپذیر نیست (مانند تابع قدر مطلق در $x=0$)، نمیتوان از آزمون مشتق استفاده کرد. در این موارد باید مستقیماً به تعریف اصلی بازگردیم: همسایگی نقطه را بررسی کرده و ببینیم آیا مقدار تابع در آن نقطه از همه مقادیر همسایگی بیشتر است یا کمتر. برای تابع $f(x)=|x|$ در $x=0$، همه نقاط اطراف مقدار مثبت دارند پس $f(0)=0$ یک مینیمم نسبی است.
جمعبندی
پاورقی
1 بهینهسازی (Optimization): فرآیند یافتن بهترین جواب ممکن از میان مجموعهای از جوابهای موجود، معمولاً شامل پیدا کردن ماکزیمم یا مینیمم یک تابع هدف.
2 همسایگی (Neighborhood): بازهٔ باز به شکل $(c-\delta, c+\delta)$ که در آن $\delta \gt 0$ یک عدد مثبت و معمولاً کوچک است.
3 نقطه بحرانی (Critical Point): نقطهای در دامنه تابع که یا مشتق در آن صفر است یا مشتق وجود ندارد.
4 نقطه عطف (Inflection Point): نقطهای که تابع در آن تغییر تحدب میدهد (از محدب به مقعر یا برعکس) و مشتق دوم در آن صفر یا ناموجود است.
5 اکسترمم (Extremum): واژهای عمومی برای اشاره به ماکزیمم یا مینیمم (اعم از نسبی یا مطلق).