حد یکطرفه: درک رفتار تابع از راست و چپ نقطه
تعریف دقیق حد از راست و حد از چپ
فرض کنید $f(x)$ تابعی باشد که روی بازهای شامل عدد $a$ تعریف شده است، به جز احتمالاً خود $a$. حد راست تابع در نقطه $a$، مقداری است که $f(x)$ وقتی $x$ از مقادیر بزرگتر از $a$ (یعنی از سمت راست) به $a$ نزدیک میشود، به آن نزدیک میشود و آن را با $\displaystyle \lim_{x \to a^{+}} f(x)$ نشان میدهیم.
حد چپ نیز به طور مشابه تعریف میشود با این تفاوت که $x$ از مقادیر کوچکتر از $a$ (سمت چپ) به $a$ نزدیک میشود و نماد آن $\displaystyle \lim_{x \to a^{-}} f(x)$ است. شرط وجود حد دوطرفه در نقطه $a$ برابر بودن مقدار این دو حد یکطرفه است:
مقایسه مفهومی حد راست و حد چپ با جدول
| ویژگی | حد راست $(x \to a^{+})$ | حد چپ $(x \to a^{-})$ |
|---|---|---|
| نزدیک شدن $x$ به $a$ | از مقادیر بزرگتر ($x \gt a$) | از مقادیر کوچکتر ($x \lt a$) |
| نمادگذاری | $\displaystyle \lim_{x \to a^{+}} f(x)$ | $\displaystyle \lim_{x \to a^{-}} f(x)$ |
| شرط وجود حد دوطرفه | باید با حد چپ برابر باشد | باید با حد راست برابر باشد |
محاسبه گامبهگام با توابع چندضابطهای
تابع زیر را در نظر بگیرید:
میخواهیم $\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x)$ و $\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x)$ را بیابیم.
مرحله 1: حد راست - برای $x \to 1^{+}$ مقادیر $x$ کمی بزرگتر از $1$ هستند. طبق ضابطه تابع، در این ناحیه $f(x)=x^{2}$. بنابراین $\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} (x^{2}) = 1^{2}=1$.
مرحله 2: حد چپ - برای $x \to 1^{-}$ مقادیر $x$ کمی کوچکتر از $1$ هستند. در این ناحیه $f(x)=x+2$. بنابراین $\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} (x+2) = 1+2=3$.
مرحله 3: مقایسه - میبینیم که حد راست ($1$) با حد چپ ($3$) برابر نیست، بنابراین $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ وجود ندارد، هرچند هر دو حد یکطرفه وجود دارند.
مثال عینی: تابع قدرمطلق در مبدأ
تابع $f(x)=|x|$ را در نقطه $a=0$ بررسی میکنیم. میدانیم $|x| = x$ برای $x \ge 0$ و $|x| = -x$ برای $x \lt 0$. حد راست در صفر: $\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} x = 0$. حد چپ در صفر: $\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}} (-x) = 0$. از آنجا که دو حد یکطرفه با هم برابرند، حد دوطرفه تابع قدرمطلق در مبدأ وجود دارد و برابر $0$ است. این مثال نشان میدهد که گاهی با وجود عوض شدن ضابطه، حدود یکطرفه میتوانند برابر باشند.
کاربرد عملی: تعیین پیوستگی
برای اثبات پیوستگی1 یک تابع در نقطه $a$ باید سه شرط برقرار باشد: $f(a)$ defined, $\lim_{x \to a} f(x)$ exists, and $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. برای بررسی شرط دوم، همواره باید حدود یکطرفه را محاسبه کرده و برابری آنها را بررسی کنیم. مثال متداول: تابع $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$ در $x=1$ تعریف نشده است، اما حدود یکطرفه هر دو برابر $2$ هستند. بنابراین با تعریف مجدد $f(1)=2$ میتوان تابع را در آن نقطه پیوسته کرد. این فرآیند «رفع ناپیوستگی» نامیده میشود.