تابع تانژانت: از تعریف مثلثاتی تا نمودار و کاربردها
تعریف تانژانت در مثلث قائمالزاویه و دایرهٔ مثلثاتی
در یک مثلث قائمالزاویه، تانژانت زاویهٔ حاده $ x $ برابر است با نسبت طول ضلع مقابل به طول ضلع مجاور. به زبان ریاضی:
در دایرهٔ مثلثاتی (دایرهای به شعاع واحد)، اگر نقطهٔ $ P(\cos x, \sin x) $ روی دایره باشد، تانژانت زاویهٔ $ x $ به صورت $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ تعریف میشود. این تعریف برای تمام زاویههایی که $ \cos x \neq 0 $ معتبر است.
برای نمونه، زاویهٔ $ 30^\circ $ را در نظر بگیرید. میدانیم $ \sin 30^\circ = \frac12 $ و $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $. بنابراین:
دامنه، برد و مجانبهای قائم تابع $ y = \tan x $
تابع $ y = \tan x $ به دلیل حضور $ \cos x $ در مخرج، در نقاطی که $ \cos x = 0 $ تعریف نشده است. این نقاط عبارتند از:
در این نقاط، تابع مجانب قائم1 دارد. دامنهٔ تابع تانژانت همهٔ اعداد حقیقی به جز این نقاط است. برد تابع تانژانت تمام اعداد حقیقی ($ (-\infty, +\infty) $) میباشد، زیرا نسبت $ \sin x / \cos x $ میتواند هر مقدار حقیقی را اختیار کند.
مثال: در نزدیکی $ x = \frac{\pi}{2} $ از سمت چپ، $ \tan x \to +\infty $ و از سمت راست، $ \tan x \to -\infty $.
| زاویه بر حسب درجه | زاویه بر حسب رادیان | $ \tan x $ |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| 45° | $ \frac{\pi}{4} $ | 1 |
| 60° | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \sqrt{3} $ |
| 90° | $ \frac{\pi}{2} $ | تعریفنشده (مجانب) |
تناوب و نمودار تابع تانژانت
تابع تانژانت یک تابع تناوبی2 با دورهٔ تناوب $ \pi $ (رادیان) است، زیرا:
نمودار تابع $ y = \tan x $ از مبدأ مختصات عبور میکند، در بازهٔ $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ صعودی است و در دو انتهای این بازه مجانب قائم دارد. شکل کلی نمودار هر دوره تکرار میشود.
مثال: برای محاسبهٔ $ \tan(\frac{5\pi}{4}) $ از تناوب استفاده میکنیم:
کاربرد عملی: محاسبه ارتفاع با استفاده از تانژانت
فرض کنید میخواهید ارتفاع یک ساختمان را اندازه بگیرید. در فاصلهٔ مشخصی از ساختمان (مثلاً $ 50 $ متر) بایستید و زاویهٔ ارتفاع3 خط دید به بالای ساختمان را اندازه بگیرید. اگر این زاویه $ 30^\circ $ باشد، با استفاده از تانژانت داریم:
این روش در نقشهبرداری، ناوبری و حتی در فیزیک برای تجزیهٔ نیروها به کار میرود.
چالشهای مفهومی
در زاویهٔ $ 90^\circ $، ضلع مجاور در مثلث قائمالزاویه صفر میشود. از نظر نسبت $ \sin x / \cos x $ نیز داریم $ \cos 90^\circ = 0 $ و تقسیم بر صفر مجاز نیست. بنابراین تابع در این نقطه دارای مجانب قائم است و مقدار واقعی ندارد.
خیر، در کل دامنهٔ خود یکبهیک نیست زیرا تناوبی است. اما اگر آن را به بازهٔ اصلی $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ محدود کنیم، در آن بازه اکیداً صعودی و یکبهیک میشود. به همین دلیل، وارون تابع تانژانت یعنی $ \arctan x $ را روی این بازه تعریف میکنند.
اگر خطی با محور $ x $ زاویهٔ $ \theta $ بسازد، شیب آن خط برابر $ m = \tan \theta $ است. این رابطه در هندسهٔ تحلیلی و حساب دیفرانسیل برای یافتن شیب مماس بر منحنی کاربرد اساسی دارد.
پاورقی
1 مجانب قائم (Vertical Asymptote): خطی عمودی مانند $ x = a $ است که به ازای نزدیک شدن $ x $ به $ a $ از چپ یا راست، مقدار تابع به سمت بینهایت یا منفی بینهایت میل میکند.
2 تابع تناوبی (Periodic Function): تابعی مانند $ f $ که عدد ثابت $ T \neq 0 $ وجود داشته باشد به طوری که $ f(x+T) = f(x) $ برای همهٔ $ x $ دامنه برقرار باشد. کوچکترین $ T $ مثبت را دورهٔ تناوب مینامند.
3 زاویهٔ ارتفاع (Angle of Elevation): زاویه بین خط افق و خط دید ناظر به سمت یک نقطهٔ بالاتر از افق. در اندازهگیریهای غیرمستقیم ارتفاع کاربرد دارد.