دوره تناوب سینوس: چرا عدد $2\pi$ کوچکترین دورهٔ تکرار تابع $y = \sin x$ است؟
۱. تعریف تابع متناوب و دورهٔ تناوب
در ریاضیات، یک تابع مانند $f(x)$ را متناوب (یا دورهای) مینامیم اگر عدد مثبت $T$ وجود داشته باشد به طوری که برای تمام مقادیر $x$ در دامنهٔ تابع، رابطهٔ زیر برقرار باشد:
کوچکترین چنین عدد مثبت $T$ را دورهٔ تناوب اصلی تابع میگویند. به عبارت دیگر، بعد از گذشت $T$ واحد از متغیر، مقدار تابع دوباره تکرار میشود. توابع متناوب در طبیعت و علوم بسیار دیده میشوند: امواج صوتی، حرکت پاندول، جریان متناوب برق و ...
برای تابع $y = \sin x$ میدانیم که:
- $\sin(0) = 0$، $\sin(2\pi) = 0$، $\sin(4\pi) = 0$ و الی آخر.
- $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$، $\sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$.
این تکرارها نشان میدهد که تابع سینوس متناوب است و به نظر میرسد $T = 2\pi$ یک دورهٔ تناوب باشد. اما سؤال اصلی این است: آیا عدد کوچکتری وجود دارد که این ویژگی را داشته باشد؟
۲. چرا $2\pi$ کوچکترین دورهٔ تناوب تابع سینوس است؟
برای اثبات اینکه $2\pi$ کوچکترین دورهٔ تناوب است، باید نشان دهیم هیچ عدد مثبت کوچکتری مانند $T_0$ با شرط $0 \lt T_0 \lt 2\pi$ وجود ندارد که برای همهٔ $x$ها، $\sin(x+T_0) = \sin x$ برقرار باشد.
از دیدگاه دایره مثلثاتی1، سینوس یک زاویه، برابر با طول تصویر نقطهٔ روی دایره بر روی محور عمودی (محور $y$) است. وقتی زاویه $x$ به اندازهٔ $2\pi$ افزایش مییابد، یک دور کامل روی دایره میزنیم و به همان نقطهٔ اولیه بازمیگردیم. اگر افزایش کوچکتری مانند $\pi$ را امتحان کنیم، خواهیم دید که $\sin(x+\pi) = -\sin x$ و فقط در نقاط خاصی با $\sin x$ برابر است (مثلاً در نقاطی که $\sin x = 0$)، نه برای همهٔ $x$ها.
یک روش جبری: فرض کنید $T_0$ یک دورهٔ تناوب مثبت باشد. آنگاه برای $x = 0$ باید $\sin T_0 = \sin 0 = 0$. کوچکترین زاویهٔ مثبتی که سینوس آن صفر میشود، $\pi$ است. اما اگر $T_0 = \pi$ باشد، آنگاه برای $x = \frac{\pi}{2}$ داریم: $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ که برابر با $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ نیست. پس $T_0 = \pi$ نمیتواند دورهٔ تناوب باشد. هر عدد کوچکتر از $2\pi$ نیز با آزمودن $x = 0$ و $x = \frac{\pi}{2}$ رد میشود. بنابراین $T = 2\pi$ کوچکترین دورهٔ تناوب است.
۳. فرمول دورهٔ تناوب برای توابع سینوسی و کسینوسی
در دبیرستان معمولاً با توابعی به شکل $y = A \sin(ax + b)$ یا $y = A \cos(ax + b)$ روبرو میشوید، که در آن $A$ دامنه (ارتفاع موج) و $a$ ضریب $x$ است. در این حالت، دورهٔ تناوب اصلی از فرمول زیر به دست میآید:
دقت کنید که $b$ (انتقال فازی) روی دورهٔ تناوب تأثیری ندارد و فقط نمودار را به چپ یا راست منتقل میکند. همچنین مقدار مطلق $|a|$ به کار رفته زیرا علامت ضریب، تناوب را تغییر نمیدهد (چون $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ است).
مثال: برای تابع $y = \sin(3x)$ داریم $a = 3$، پس $T = \frac{2\pi}{3}$. یعنی تابع هر $\frac{2\pi}{3}$ واحد یک بار تکرار میشود. به همین ترتیب برای $y = \cos(\frac{x}{2})$ مقدار $a = \frac{1}{2}$ و دورهٔ تناوب برابر $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ خواهد بود.
| تابع نمونه | ضریب $a$ | دورهٔ تناوب ($T$) |
|---|---|---|
| $y = \sin x$ | $1$ | $2\pi$ |
| $y = \sin(2x)$ | $2$ | $\pi$ |
| $y = \sin(\frac{x}{2})$ | $\frac{1}{2}$ | $4\pi$ |
| $y = 5 \cos(4x - \frac{\pi}{3})$ | $4$ | $\frac{\pi}{2}$ |
۴. کاربرد عملی: محاسبهٔ دورهٔ تناوب در امواج و صدا
فرض کنید یک موج صوتی ساده توسط تابع $y = \sin(880 \times 2\pi t)$ توصیف میشود، که در آن $t$ زمان بر حسب ثانیه است. برای یافتن دورهٔ تناوب (زمان یک نوسان کامل) کافی است ضریب $t$ را که برابر $a = 880 \times 2\pi$ است، در فرمول قرار دهیم:
معکوس این عدد (یعنی $880$) فرکانس بر حسب هرتز (تعداد نوسان در ثانیه) است. این همان نت موسیقی "La" بالاتر از دو میانی است. چنین محاسباتی در طراحی آلات موسیقی، مهندسی برق (جریان متناوب) و مخابرات کاربرد فراوان دارد.
مثال دیگر: حرکت یک آونگ ساده که معادلهٔ زاویهٔ آن به صورت $\theta(t) = \theta_{\max} \sin(\omega t)$ باشد، در اینجا $\omega$ فرکانس زاویهای است و دورهٔ تناوب برابر $T = \frac{2\pi}{\omega}$ خواهد بود. دانش آموزان با استفاده از این رابطه میتوانند دورهٔ نوسان آونگ را محاسبه کنند.
۵. چالشهای مفهومی
خیر، این تابع متناوب نیست. زیرا با افزایش $x$، افزایش داخل سینوس به صورت $x^2$ تغییر میکند و هرچه $x$ بزرگتر شود، فاصلهٔ بین صفرهای متوالی کاهش مییابد. هیچ مقدار ثابت $T$ای وجود ندارد که به ازای همهٔ $x$ها، $\sin((x+T)^2) = \sin(x^2)$ برقرار شود.
تابع $y = |\sin x|$ قدرمطلق سینوس است. در بازهٔ $[0, \pi]$ مقدار سینوس غیرمنفی است، اما در بازهٔ $[\pi, 2\pi]$ سینوس منفی میشود و قدرمطلق آن را مثبت میکند. بنابراین شکل نمودار در بازهٔ $[\pi, 2\pi]$ دقیقاً تکرار بازهٔ $[0, \pi]$ است و کل نمودار هر $\pi$ واحد تکرار میشود.
بله، تابع ثابت برای هر عدد مثبت $T$ شرط $f(x+T)=c=c=f(x)$ را برآورده میکند. اما از آنجا که کوچکترین عدد مثبت وجود ندارد، میگوییم تابع ثابت متناوب است ولی دورهٔ تناوب اصلی تعریفشدهای ندارد (یا به عبارتی هر عدد مثبت یک دورهٔ تناوب است).
جمعبندی
پاورقی
1 دایره مثلثاتی (Unit Circle): دایرهای به شعاع واحد (یک) که مرکز آن در مبدأ مختصات قرار دارد. زاویهٔ $\theta$ از روی این دایره به صورت پیمایش در خلاف جهت عقربههای ساعت از محور $x$ مثبت تعریف میشود و مختصات نقطهٔ روی دایره برابر $(\cos\theta, \sin\theta)$ است.