تابع سینوسی $ y = \sin(bx) $ و نقش ضریب $ b $ در دورهتناوب
آشنایی با تابع سینوسی پایه و دوره تناوب
تابع $ y = \sin(x) $ یک تابع متناوب2 با دوره تناوب اصلی $ 2\pi $ است. یعنی پس از گذشت $ 2\pi $ واحد روی محور افقی، مقدار تابع تکرار میشود. به بیان ریاضی: $ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) $ برای تمام مقادیر $ x $. این ویژگی در بسیاری از پدیدههای طبیعی مانند حرکت موجی، جزر و مد و جریان متناوب برق دیده میشود.
حال اگر به جای $ x $ عبارت $ b x $ را قرار دهیم، سرعت تغییرات تابع افزایش یا کاهش مییابد. ضریب $ b $ که عددی حقیقی و معمولاً مثبت در نظر گرفته میشود، نقش «بسامد زاویهای»3 را ایفا میکند.
فرمول دوره تناوب برای تابع $ y = \sin(bx) $
برای پیدا کردن دوره تناوب جدید، کافی است شرط تناوب را بنویسیم:
علامت قدر مطلق برای $ b $ به کار رفته است تا حتی اگر $ b $ منفی باشد، دوره تناوب مثبت باقی بماند. هرچه مقدار $ |b| $ بزرگتر باشد، دوره تناوب کوتاهتر میشود و تابع نوسانهای بیشتری در یک بازه ثابت انجام میدهد.
تأثیر ضریب b بر شکل نمودار و تعداد نوسانها
با تغییر $ b $، نمودار تابع به صورت افقی فشرده یا کشیده میشود. اگر $ b \gt 1 $، نمودار فشرده و تعداد نوسانها در یک بازه معین افزایش مییابد. اگر $ 0 \lt b \lt 1 $، نمودار کشیده و نوسانها کاهش مییابد. برای $ b = 1 $ همان تابع اصلی را داریم. جدول زیر به وضوح این تغییرات را نشان میدهد.
| مقدار $ b $ | دوره تناوب $ T = \frac{2\pi}{b} $ | تعداد نوسان در بازه $ [0, 2\pi] $ | نوع تغییر نمودار |
|---|---|---|---|
| $ b = 0.5 $ | $ 4\pi $ | 0.5 | کشیده شدن افقی |
| $ b = 1 $ | $ 2\pi $ | 1 | حالت پایه |
| $ b = 2 $ | $ \pi $ | 2 | فشردگی افقی |
| $ b = 3 $ | $ \frac{2\pi}{3} $ | 3 | فشردگی بیشتر |
کاربرد عملی: تحلیل ارتعاشات و امواج صوتی
در مهندسی صدا، معادله یک نت موسیقی اغلب به صورت $ y = A \sin(2\pi f t) $ نوشته میشود که در آن $ f $ فرکانس بر حسب هرتز است. مقایسه با فرم $ y = \sin(bx) $ نشان میدهد که $ b = 2\pi f $. هرچه $ b $ بزرگتر باشد، فرکانس بالاتر و صدای زیرتری تولید میشود. برای مثال، نت «دو» در اکتاو میانی با فرکانس حدود $ 261.6 $ هرتز، دارای ضریب $ b \approx 1643 $ است که یک دوره تناوب بسیار کوتاه (حدود $ 0.0038 $ ثانیه) ایجاد میکند. به همین دلیل گوش انسان این نوسانهای سریع را به صورت یک نت پیوسته میشنود.
نمونه دیگر در جریان متناوب برق شهری با فرکانس $ 50 $ هرتز داریم: $ b = 100\pi $ و دوره تناوب $ T = \frac{2\pi}{100\pi} = 0.02 $ ثانیه است. درک این موضوع برای طراحی مدارهای الکترونیکی ضروری است.
چالشهای مفهومی
۱) اگر $ b $ منفی باشد، دوره تناوب چگونه تغییر میکند؟
تابع $ y = \sin(-x) $ برابر با $ -\sin(x) $ است (سینوس یک تابع فرد است). بنابراین علامت منفی فقط باعث بازتاب نمودار نسبت به محور افقی میشود و دوره تناوب تغییری نمیکند. در فرمول $ T = \frac{2\pi}{|b|} $ نیز تأثیر منفی بودن $ b $ با قدر مطلق حذف میشود.
۲) آیا فرمول $ T = \frac{2\pi}{b} $ برای توابعی مانند $ y = \cos(bx) $ یا $ y = \tan(bx) $ نیز صادق است؟
برای کسینوس دقیقاً همان دوره تناوب $ \frac{2\pi}{|b|} $ را داریم. اما برای تانژانت که دوره تناوب اصلی $ \pi $ دارد، فرمول به صورت $ T = \frac{\pi}{|b|} $ خواهد بود. پس مراقب باشید که دوره تناوب پایه هر تابع مثلثاتی متفاوت است.
۳) چگونه میتوان از روی نمودار مقدار $ b $ را تخمین زد؟
کافی است فاصله بین دو قله متوالی (یا دو نقطه مشابه) را روی محور افقی اندازه بگیرید؛ این فاصله همان دوره تناوب $ T $ است. سپس از رابطه $ b = \frac{2\pi}{T} $ مقدار $ b $ را محاسبه کنید. اگر نمودار فشرده باشد ($ T \lt 2\pi $) آنگاه $ b \gt 1 $ و اگر کشیده باشد ($ T \gt 2\pi $) آنگاه $ b \lt 1 $.
نکات کلیدی در حل مسائل و تمرینها
هنگام مواجهه با توابعی مانند $ y = \sin(3x) $ یا $ y = \sin(\frac{x}{2}) $، همیشه اولین گام شناسایی ضریب $ b $ است. برای $ y = \sin(3x) $ داریم $ b = 3 $ و دوره تناوب $ T = \frac{2\pi}{3} $. برای $ y = \sin(\frac{x}{2}) $ داریم $ b = \frac{1}{2} $ و دوره تناوب $ T = 4\pi $. به یاد داشته باشید که دامنه تابع تغییری نمیکند و همچنان بین $ -1 $ و $ 1 $ باقی میماند مگر اینکه ضریب دیگری مانند $ A $ در جلوی سینوس ظاهر شود.
پاورقی
1 دوره تناوب (Period): کوچکترین عدد مثبت $ T $ که به ازای آن $ f(x+T) = f(x) $ برای همه $ x $ در دامنه تابع برقرار باشد.
2 تابع متناوب (Periodic function): تابعی که مقادیر آن پس از یک بازه ثابت تکرار شود. مثال: توابع مثلثاتی.
3 بسامد زاویهای (Angular frequency): ضریب $ b $ در تابع $ \sin(bx) $ که نشاندهنده سرعت تغییر زاویه بر حسب واحد طول است و با $ \omega $ نیز نمایش داده میشود.
4 فرکانس (Frequency): تعداد نوسانهای کامل در واحد زمان که معادل $ \frac{|b|}{2\pi} $ در تابع $ \sin(bx) $ است.
