تابع اکیداً یکنوا: ویژگیها، تشخیص و کاربردها
تعریف و تفاوت با یکنوایی ساده
تابع f روی مجموعه D تعریف شده است. گوییم fاکیداً صعودی است هرگاه برای هر دو عضو x_1 و x_2 از D با شرط x_1 \lt x_2 داشته باشیم:
به طور مشابه، اکیداً نزولی است هرگاه x_1 \lt x_2 نتیجه دهد:
تفاوت با حالت «یکنوا» (غیر اکید) در این است که در حالت غیر اکید، تساوی مجاز است؛ یعنی میتوان f(x_1) \le f(x_2) برای صعودی غیر اکید. بنابراین اکیداً یکنوا بودن، رابطهٔ نابرابری را سختتر میکند. برای نمونه، تابع f(x)=2 (ثابت) نه اکیداً صعودی است و نه اکیداً نزولی.
مثال عملی: فرض کنید قیمت یک خودرو به سال ساخت آن وابسته باشد. اگر تابع «قیمت بر حسب سال ساخت» به طور اکید نزولی باشد، یعنی هرچه خودرو قدیمیتر باشد (سال کوچکتر)، قیمت آن حتماً کمتر است. اما اگر تابع فقط نزولی (غیر اکید) باشد، ممکن است دو خودرو با سالهای متفاوت قیمت یکسان داشته باشند که در بازار واقعی کمتر دیده میشود.
تشخیص اکیداً یکنوا بودن با استفاده از مشتق (برای توابع پیوسته و مشتقپذیر)
برای توابعی که در دبیرستان با آن سروکار داریم (مانند چندجملهایها، توانی، نمایی و لگاریتمی) یک روش سریع استفاده از مشتق اول است:
- اگر برای همه x در بازه (a,b) داشته باشیم $f'(x) \gt 0$، آنگاه f روی آن بازه اکیداً صعودی است.
- اگر برای همه x در بازه داشته باشیم $f'(x) \lt 0$، آنگاه f روی آن بازه اکیداً نزولی است.
توجه: عکس این گزاره کاملاً برقرار نیست. ممکن است تابعی در نقطهای مشتق صفر داشته باشد ولی همچنان اکیداً صعودی باشد؛ مثل f(x)=x^3 در x=0. لذا شرط $f'(x)\ge 0$ همراه با ناصفر بودن مشتق روی زیربازهها کافی است.
جدول مقایسه انواع یکنوایی
| نوع یکنوایی | شرط برای x_1 \lt x_2 | مثال |
|---|---|---|
| صعودی اکید | $f(x_1) \lt f(x_2)$ | $f(x)=x^3$ |
| نزولی اکید | $f(x_1) \gt f(x_2)$ | $f(x)=-x$ |
| صعودی غیر اکید | $f(x_1) \le f(x_2)$ | تابع پلهای مانند $f(x)=\lfloor x \rfloor$ |
آزمون خط افقی و یکنوایی اکید
یکی از کاربردهای مهم توابع اکیداً یکنوا، در بحث معکوسپذیری است. تابعی که روی یک بازه اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی باشد، حتماً «یکبهیک»1 است. برای آزمون یکبهیک بودن از «آزمون خط افقی» استفاده میکنیم: اگر هر خط افقی نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع کند، تابع یکبهیک است. تمام توابع اکیداً یکنوا این ویژگی را دارند.
مثلاً تابع $f(x)=x^2$ روی $\mathbb{R}$ یکنوا نیست (در $x=0$ تغییر جهت میدهد) ولی اگر دامنه را به $[0,+\infty)$ محدود کنیم، روی این بازه اکیداً صعودی و معکوسپذیر میشود (معکوس آن $\sqrt{x}$).
کاربرد حل معادلات و نامعادلات با استفاده از یکنوایی اکید
اگر تابع f روی دامنه خود اکیداً یکنوا باشد، آنگاه معادله $f(x)=c$ حداکثر یک جواب دارد. همچنین برای نامعادله $f(x) \lt f(y)$ میتوان نتیجه گرفت در صورت صعودی اکید بودن، $x \lt y$ و در صورت نزولی اکید بودن، $x \gt y$. این خاصیت در حل نامعادلات لگاریتمی و نمایی بسیار کمک میکند.
مثال عینی: فرض کنید بدانیم تابع $g(t)$ دمای یک مایع بر حسب زمان (دقیقه) است و اکیداً نزولی است. اگر $g(5)=80^\circ$ و $g(10)=70^\circ$ باشد، برای یافتن زمانی که دما به $75^\circ$ میرسد، میتوانیم از یکنوایی استفاده کنیم و بدانیم دقیقاً یک زمان بین 5 و 10 وجود دارد که دما برابر 75 است (بدون نیاز به حل پیچیده).
سوال ۱: آیا تابع $f(x)=\frac{1}{x}$ روی دامنه طبیعی خود (همه اعداد حقیقی به جز صفر) اکیداً یکنوا است؟
پاسخ: خیر. این تابع روی $(-\infty,0)$ اکیداً نزولی و روی $(0,+\infty)$ نیز اکیداً نزولی است، اما روی کل دامنه (اتصال دو بازه) یکنوا نیست زیرا برای $x_1=-1$ و $x_2=1$ داریم $x_1 \lt x_2$ ولی $f(-1)=-1$ و $f(1)=1$ که $-1 \lt 1$ است، پس در این دو نقطه شرط نزولی نقض میشود. بنابراین یکنوایی اکید باید روی یک مجموعه پیوسته (بدون شکاف) بررسی شود.
سوال ۲: آیا جمع دو تابع اکیداً صعودی، اکیداً صعودی است؟
پاسخ: بله. اگر $f$ و $g$ هر دو روی یک بازه اکیداً صعودی باشند، آنگاه برای $x_1 \lt x_2$ داریم $f(x_1) \lt f(x_2)$ و $g(x_1) \lt g(x_2)$. با جمع این نابرابریها: $f(x_1)+g(x_1) \lt f(x_2)+g(x_2)$. پس حاصل جمع نیز اکیداً صعودی است.
سوال ۳: چگونه میتوان فهمید تابع $h(x)=x^3 - 3x$ روی بازه $[1,2]$ اکیداً صعودی است؟
پاسخ: مشتق تابع برابر $h'(x)=3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$. برای $x\gt 1$ داریم $x^2-1 \gt 0$، بنابراین $h'(x) \gt 0$ روی $(1,2]$. لذا $h$ روی این بازه اکیداً صعودی است. (نقطهٔ $x=1$ که مشتق صفر است، در یکتایی اختلال ایجاد نمیکند زیرا تابع در همسایگی راست آن صعودی است.)
پاورقی
1 یکبهیک (Injective or One-to-One): تابعی که مقادیر متفاوت دامنه را به مقادیر متفاوت برد نگاشت دهد؛ به عبارت دیگر $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$.