انقباض افقی نمودار تابع: تبدیلی که طول نقاط را با ضریب کوچکتر از ۱ به محور y نزدیکتر میکند
۱. تعریف ریاضی و اثر روی طول نقاط
فرض کنید تابع $y = f(x)$ را داریم. تبدیل انقباض افقی با ضریب $a$ (که $0 < a < 1$) به صورت $y = f( \frac{x}{a} )$ یا رایجتر $y = f(kx)$ با $k > 1$ نوشته میشود. برای انقباض با ضریب کوچکتر از 1 نسبت به محور y، از فرم $y = f(2x)$ استفاده میکنیم. در این حالت ضریب انقباض افقی عدد 2 است (واضح است که هر نقطه به اندازه $\frac{1}{2}$ به محور y نزدیک میشود).
مثال ساده: نقطه $(4,3)$ روی نمودار $y = f(x)$ قرار دارد. پس از اعمال $y = f(2x)$، عرض نقطه جدید از حل $2x' = 4$ به دست میآید: $x' = 2$. بنابراین نقطه به $(2,3)$ منتقل میشود. همانطور که میبینید، طول نصف شده و به محور y نزدیکتر شده است.
۲. مقایسه انقباض و انبساط افقی در یک نگاه
برای درک بهتر، جدول زیر تفاوت بین انقباض افقی (ضریب بزرگتر از 1 درون تابع) و انبساط افقی (ضریب بین 0 و 1 درون تابع) را نشان میدهد. هر دو حالت بر روی تابع نمونه $f(x)=x^2$ اعمال شدهاند.
| نوع تبدیل | فرم تابع | مختصات نقطه (2,4) پس از تبدیل | نتیجه |
|---|---|---|---|
| انقباض افقی | $g(x)=f(2x)= (2x)^2 = 4x^2$ | $(1 , 4)$ | نزدیک به محور y |
| انبساط افقی | $h(x)=f(0.5x)= (0.5x)^2 = 0.25x^2$ | $(4 , 4)$ | دور از محور y |
۳. تأثیر روی دوره تناوب توابع مثلثاتی
یکی از کاربردهای مهم انقباض افقی در توابع دورهای مانند سینوس و کسینوس است. تابع $y = \sin(x)$ دارای دوره تناوب $2\pi$ است. اگر انقباض افقی با ضریب 2 اعمال کنیم: $y = \sin(2x)$. دوره تناوب جدید از رابطه $T' = \frac{T}{|k|}$ به دست میآید. در اینجا $k=2$، بنابراین $T' = \frac{2\pi}{2} = \pi$. یعنی تابع جدید دو برابر سریعتر نوسان میکند و شکل آن از نظر افقی فشرده میشود.
مثال عملی: در پردازش سیگنال1، اگر یک سیگنال صوتی را با ضریب 2 در زمان فشرده کنیم (یعنی نمونهبرداری با نرخ دو برابر)، فرکانس آن دو برابر میشود و زیر و بمی (گام) صدا افزایش مییابد. این دقیقاً همان انقباض افقی در حوزه زمان است.
۴. کاربرد عملی: فشردهسازی افقی در اقتصاد و دادهها
در تحلیل اقتصادی، گاهی برای مقایسه دو بازار با محدوده قیمتی متفاوت، باید نمودار تابع تقاضا را به صورت افقی فشرده یا کشیده کنیم. فرض کنید تابع تقاضای یک کالا به صورت $Q_d = 100 - 2P$ است (قیمت بر حسب هزار تومان). اگر بخواهیم همان رفتار را روی بازه قیمتی بر حسب میلیون تومان نشان دهیم، کافی است تبدیل $P' = 1000 P$ را معکوس کنیم. در عمل، با انقباض افقی (ضریب بزرگ) میتوان یک تغییر مقیاس سریع در محور افقی انجام داد.
یک مثال روزمره: نرمافزارهای رسم نمودار (مانل اکسل) هنگام نمایش دو مجموعه داده با طول بازههای متفاوت، به طور خودکار مقیاس افقی را فشرده یا باز میکنند تا هر دو در یک پنجره دیده شوند. این کار بدون تغییر در مقادیر عمودی انجام میشود.
۵. چالشهای مفهومی
۱. آیا انقباض افقی با ضریب $k>1$ درون تابع باعث جابهجایی ریشهها و عرضاز مبدأ میشود؟
بله. ریشههای تابع (محل برخورد با محور x) نیز به سمت مبدأ فشرده میشوند. اگر $f(r)=0$، آنگاه در $g(x)=f(kx)$ داریم $g(\frac{r}{k})=0$. بنابراین ریشه جدید در $\frac{r}{k}$ قرار میگیرد. عرض از مبدأ (مقدار در $x=0$) بدون تغییر میماند زیرا $g(0)=f(0)$.
۲. چرا در برخی کتابها انقباض افقی با $y = f(ax)$ با $0<a<1$ تعریف میشود؟
این سردرگمی ناشی از تعریف متفاوت «ضریب انقباض» است. اگر بگوییم «نمودار را با ضریب a به سمت y نزدیک کن»، آنگاه a بین 0 و 1 است و تابع به صورت $y = f(\frac{x}{a})$ نوشته میشود. در این مقاله برای هماهنگی با استاندارد دبیرستان، از $y = f(kx)$ با $k>1$ استفاده کردیم که درون تابع، ضریب بزرگتر از یک است.
۳. ترتیب اعمال تبدیلهای افقی و عمودی چه تأثیری دارد؟
مهم است که ابتدا تبدیلهای افقی (مانند $f(kx)$ یا $f(x+h)$) سپس تبدیلهای عمودی اعمال شوند. در عبارت $2f(3x+1)$، ابتدا $3x+1$ محاسبه میشود (انقباض افقی و جابهجایی) سپس کل در 2 ضرب میگردد (کشیدگی عمودی). تغییر ترتیب جواب نهایی را به شدت تغییر میدهد.
جمعبندی
پاورقی
1 پردازش سیگنال (Signal Processing): شاخهای از مهندسی و ریاضیات که به تحلیل، تغییر و بهبود سیگنالها مانند صدا، تصویر و دادههای حسگر میپردازد.
2 ضریب انقباض (Contraction Factor): عددی که نشان میدهد هر نقطه چند برابر به محور مرجع نزدیک میشود. در انقباض افقی با $y=f(2x)$ ضریب انقباض برابر $\frac{1}{2}$ است.
