برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای خروجی که از قانون تابع به دست میآید
برد در مقایسه با دامنه و مفهوم خروجی تابع
در ریاضیات، هر تابع مانند یک ماشین عمل میکند: از یک سو ورودی (که به آن متغیر مستقل میگوییم و معمولاً با x نشان داده میشود) قرار میگیرد و از سوی دیگر خروجی (متغیر وابسته که با y نشان داده میشود) تولید میشود. به مجموعهٔ همهٔ ورودیهای مجاز که تابع برای آنها تعریف شده باشد، دامنه (Domain) میگوییم. اما برد تابع، مجموعهٔ همهٔ مقدارهای y است که از اعمال قانون تابع روی دامنه به دست میآید.
به عبارت سادهتر، اگر دامنه را مجموعهٔ مواد اولیهٔ یک کارگاه در نظر بگیریم، برد مجموعهٔ محصولات نهایی است که آن کارگاه قادر به تولید آنهاست. برای نمونه تابع $f(x)=x+2$ را در نظر بگیرید. اگر دامنه را اعداد حقیقی در نظر بگیریم، خروجی نیز هر عدد حقیقی خواهد بود؛ بنابراین برد نیز مجموعهٔ تمام اعداد حقیقی است. اما اگر دامنه را به اعداد مثبت محدود کنیم، برد به اعداد بزرگتر از 2 تغییر میکند.
روشهای گامبهگام محاسبهٔ برد براساس نوع تابع
برای یافتن برد توابع مختلف، روشهای متفاوتی وجود دارد. در ادامه رایجترین روشها را مرور میکنیم.
توابع خطی توابعی به شکل $f(x)=ax+b$ که در آن $a \neq 0$ هستند. اگر دامنه تمام اعداد حقیقی باشد، برد نیز تمام اعداد حقیقی است. اگر دامنه بازهای مانند $[m,n]$ باشد، برد نیز بازهای بین $f(m)$ و $f(n)$ خواهد بود (بسته به اینکه تابع صعودی یا نزولی باشد).
توابع درجه دوم به شکل $f(x)=ax^2+bx+c$ سهمی گونه هستند. برد آنها به ضریب $a$ و مختصات رأس بستگی دارد. اگر $a>0$ باشد، سهمی رو به بالا باز میشود و برد به صورت $[y_v, \infty)$ و اگر $a \lt 0$ باشد، برد به صورت $(-\infty, y_v]$ خواهد بود که در آن $y_v$ مقدار $y$ در رأس سهمی است.
توابع رادیکالی با ریشهٔ زوج (مانند جذر) نیاز دارند که عبارت زیر رادیکال نامنفی باشد. برد آنها اغلب شامل اعداد نامنفی است، مگر اینکه تغییراتی در تابع اعمال شده باشد. برای تابع $f(x)=\sqrt{x}$ با دامنهٔ $[0,\infty)$، برد برابر $[0,\infty)$ است.
توابع کسری که در آنها متغیر در مخرج ظاهر میشود، برای یافتن برد معمولاً از روش معادلهسازی (حل $y=f(x)$ بر حسب $x$ و یافتن مقادیر مجاز $y$) استفاده میشود.
| نوع تابع | روش اصلی یافتن برد | مثال برد با دامنه حقیقی |
|---|---|---|
| خطی | محاسبه در کرانههای دامنه | $\mathbb{R}$ |
| درجه دوم | یافتن رأس سهمی | $[y_v,\infty)$ یا $(-\infty,y_v]$ |
| رادیکالی (جذر) | تعیین نامنفی بودن عبارت داخل ریشه | $[0,\infty)$ برای $f(x)=\sqrt{x}$ |
| کسری گویا | حل معادله $y=f(x)$ و حذف مقادیر ممنوع $y$ | به جز یک مقدار استثنا |
کاربرد عملی: یافتن برد در مسائل روزمره و علوم تجربی
فرض کنید دمای یک ماده برحسب زمان با قانون $T(t)= -t^2 + 4t + 5$ درجهٔ سانتیگراد تغییر میکند، که در آن $t$ برحسب ثانیه و در بازهٔ $[0,5]$ اندازهگیری میشود. برد این تابع، محدودهٔ دمایی است که ماده در مدت 5 ثانیه تجربه میکند. از آنجا که ضریب $a=-1 \lt 0$، سهمی رو به پایین است و رأس آن در $t=2$ (از فرمول $t_v=-b/(2a)= -4/(2\times -1)=2$) قرار دارد. مقدار دما در رأس برابر $T(2)= -4+8+5=9$ درجه است. در دو انتهای بازه: $T(0)=5$ و $T(5)= -25+20+5=0$. بنابراین برد تابع در این بازه، بازهٔ $[0,9]$ خواهد بود. یعنی دمای ماده بین صفر تا 9 درجه تغییر میکند که در طراحی سیستمهای گرمایشی یا سرمایشی بسیار مهم است.
مثال دیگر: در اقتصاد، تابع سود یک بنگاه به صورت $P(x)=100x - x^2$ است که در آن $x$ تعداد محصول تولیدی (و محدود به $0 \le x \le 100$) است. برد این تابع نشان میدهد حداکثر و حداقل سود ممکن چقدر است. با محاسبهٔ رأس در $x=50$، سود بیشینه برابر $2500$ و سود کمینه در نقاط مرزی صفر است. بنابراین برد $[0,2500]$ خواهد بود.
چالشهای مفهومی در تعیین برد
خیر. برای مثال در تابع $f(x)=x^2$ با دامنهٔ اعداد حقیقی، برد فقط اعداد نامنفی است، در حالی که دامنه شامل اعداد منفی نیز میشود. دامنه مجموعهٔ ورودیها و برد مجموعهٔ خروجیهاست و این دو لزوماً با هم یکسان نیستند.
هنگامی که معادلهٔ $y=f(x)$ را بر حسب $x$ حل میکنیم، ممکن است برای برخی از $y$ها، مقدار $x$ به دست آمده در دامنهٔ تابع نباشد (مثلاً مخرج صفر شود) یا اساساً معادله پاسخ حقیقی نداشته باشد. بنابراین آن $y$ نمیتواند جزو برد باشد.
لزوماً خیر. برای توابع گسسته مانند تابعی که فقط روی اعداد صحیح تعریف شده باشد، برد نیز مجموعهای از نقاط مجزا است. همچنین برای توابعی مانند $f(x)= \frac{1}{x}$ با دامنهٔ اعداد حقیقی بجز صفر، برد شامل تمام اعداد حقیقی بجز صفر است که دو بازهٔ جدا از هم است.
جمعبندی
پاورقی
2 دامنه (Domain): مجموعهٔ تمام ورودیهای مجاز که تابع برای آنها تعریف شده است.
3 برد (Range): مجموعهٔ تمام خروجیهای حقیقی که از قرار دادن اعضای دامنه در قانون تابع به دست میآید.
4 رأس سهمی (Vertex of Parabola): نقطهٔ ماکزیمم یا مینیمم یک تابع درجه دوم که نقش کلیدی در تعیین برد آن دارد.
5 معادلهسازی (Solving for Inverse): روشی برای یافتن برد که در آن $y=f(x)$ را به گونهای بازنویسی میکنیم که $x$ برحسب $y$ بیان شود و سپس شرایط وجود $x$ را بررسی میکنیم.
