عبارت گویا: عبارتی که بدون رادیکال نوشته می‌شود یا نسبت دو چندجمله‌ای است.

عبارت گویا: از تعریف تا ساده‌سازی و عملیات پایه

تعریف عبارت گویا و تشخیص آن از سایر عبارات

عبارت گویا در ریاضیات به عبارتی جبری گفته می‌شود که به صورت نسبت دو چندجمله‌ای (چندجمله‌ای¹) نوشته شده باشد، به شرط آنکه مخرج آن چندجمله‌ای مخالف صفر باشد. به عبارت دیگر، هر عبارتی به شکل $\frac{P(x)}{Q(x)}$ که در آن $P(x)$ و $Q(x)$ چندجمله‌ای هستند و $Q(x) \ne 0$، یک عبارت گویا نام دارد. نکته بسیار مهم عبارت‌هایی مانند $\frac{x^2 + 3x - 1}{x + 2}$ و $\frac{5}{x^2 + 1}$ عبارت گویا هستند، اما $\frac{\sqrt{x}}{x-1}$ یا $2^{x}$ عبارت گویا محسوب نمی‌شوند، زیرا صورت یا مخرج آن‌ها چندجمله‌ای نیستند. عبارت‌هایی که بدون رادیکال نوشته می‌شوند اما صورت و مخرج آن‌ها چندجمله‌ای نباشند نیز خارج از این تعریف قرار دارند. برای درک بهتر، تفاوت عبارت گویا با سایر عبارات را در جدول زیر مقایسه کرده‌ایم:

دامنهٔ تعریف و شرط عدم ابطال در عبارت گویا

یکی از مهم‌ترین مفاهیم در کار با عبارت گویا، تعیین دامنهٔ مجاز متغیرها است. از آنجا که مخرج یک عبارت گویا هرگز نمی‌تواند صفر شود، باید همهٔ مقادیری را که مخرج را صفر می‌کنند از دامنه حذف کنیم. به عنوان مثال، برای عبارت $\frac{x+1}{x-3}$، مقدار $x = 3$ مخرج را صفر می‌کند، بنابراین دامنه برابر است با $\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne 3\}$. در عبارات گویای مرکب که شامل چند عبارت در مخرج هستند، ابتدا باید مخرج اصلی و سپس مخرج‌های فرعی را جداگانه بررسی کرد. فرض کنید عبارت $\frac{1}{x + \frac{1}{x-2}}$ را داریم. این عبارت در دو سطح دارای مخرج است: مخرج اصلی (سطح اول) و مخرج کسر درون‌مخرج. برای یافتن دامنه، ابتدا مخرج سطح دوم یعنی $x-2$ را مخالف صفر قرار می‌دهیم ($x \ne 2$)، سپس کل مخرج اصلی را مساوی صفر حل می‌کنیم: $x + \frac{1}{x-2} = 0$ که به معادله $x^2 - 2x + 1 = 0$ یا $(x-1)^2 = 0$ می‌انجامد. بنابراین $x = 1$ نیز نباید مجاز باشد. در نهایت دامنه عبارت، تمام اعداد حقیقی به جز $1$ و $2$ خواهد بود.

ساده‌سازی عبارت گویا با استفاده از تجزیه و اتحادها

ساده‌سازی عبارت گویا به معنای یافتن فرمی معادل با آن است که در آن صورت و مخرج هیچ عامل مشترکی (غیر از اعداد ثابت) نداشته باشند. برای این کار باید صورت و مخرج را تا حد امکان تجزیه کنیم و سپس عامل‌های مشترک را حذف کنیم. توجه داشته باشید که این حذف تنها در صورتی مجاز است که عامل مشترک در کل دامنهٔ عبارت مخالف صفر باشد. مثال: عبارت $\frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}$ را ساده کنید. مرحله ۱: تجزیه صورت $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ مرحله ۲: تجزیه مخرج $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ مرحله ۳: نوشتن به صورت حاصل‌ضرب عوامل $\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}$ مرحله ۴: حذف عامل مشترک با فرض $x \ne 2$ (چون در دامنهٔ اصلی مخرج نباید صفر شود)، عامل $(x-2)$ حذف می‌شود و حاصل ساده شده برابر $\frac{x+2}{x+1}$ خواهد بود، با این شرط که $x \ne 2$ و همچنین $x \ne -1$ (زیرا مخرج اصلی در این مقدار صفر می‌شود). هشدار مهم هرگز نباید عامل مشترکی را حذف کنید که صفر بودن آن در دامنهٔ تعریف مجاز نباشد. به عبارت دیگر، ساده‌سازی دامنهٔ عبارت را تغییر نمی‌دهد؛ دامنهٔ عبارت اصلی و عبارت ساده شده یکسان است.

عملیات جمع و تفریق روی عبارت‌های گویا

برای جمع یا تفریق دو عبارت گویا، باید آن‌ها را به مخرج مشترک تبدیل کنیم. بهترین مخرج مشترک، کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م) بین مخرج‌هاست. پس از تبدیل، صورت‌ها را جمع یا تفریق کرده و در صورت امکان نتیجه را ساده می‌کنیم. مثال: حاصل $\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}$ را بیابید. مخرج مشترک: $x(x+1)$ صورت اول: $\frac{2}{x} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)}$ صورت دوم: $\frac{3}{x+1} = \frac{3x}{x(x+1)}$ جمع صورت‌ها: $2(x+1) + 3x = 2x + 2 + 3x = 5x + 2$ نتیجه نهایی: $\frac{5x+2}{x(x+1)}$ به شرط $x \ne 0$ و $x \ne -1$

ضرب و تقسیم در عبارت‌های گویا: روش گام به گام

ضرب عبارت‌های گویا بسیار ساده‌تر از جمع است: کافی است صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را در هم ضرب کنیم، سپس حاصل را ساده کنیم. برای تقسیم نیز عبارت اول را در معکوس عبارت دوم ضرب می‌کنیم. مثال ضرب: $\frac{x^2 - 1}{x} \times \frac{x^2}{x+1}$ ابتدا تجزیه: $\frac{(x-1)(x+1)}{x} \times \frac{x^2}{x+1}$ حذف عامل مشترک $(x+1)$ و یکی از $x$ها: نتیجه $x(x-1)$ به شرط $x \ne 0$ و $x \ne -1$ مثال تقسیم: $\frac{x+2}{x-1} \div \frac{x^2-4}{x^2 - 2x + 1}$ معکوس عبارت دوم: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4}$ ضرب: $\frac{x+2}{x-1} \times \frac{(x-1)^2}{(x-2)(x+2)}$ = $\frac{x-1}{x-2}$ (با در نظر گرفتن دامنهٔ مناسب)

کاربرد عملی: حل معادلات و نامساوی‌های گویا در مسائل دبیرستان

یکی از کاربردهای اصلی عبارت‌های گویا، حل معادلات و نامساوی‌هایی است که در آن‌ها متغیر در مخرج کسر ظاهر می‌شود. برای حل معادلهٔ گویا، ابتدا دامنه را تعیین کرده، سپس دو طرف معادله را در مخرج مشترک ضرب می‌کنیم و معادلهٔ چندجمله‌ای حاصل را حل می‌کنیم. در پایان، جواب‌های به دست آمده را با دامنه مقایسه کرده و جواب‌های نامجاز را حذف می‌کنیم. مثال عملی: فرض کنید در یک مسئلهٔ فیزیک، رابطهٔ مقاومت معادل در مداری موازی به صورت $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ داده شده است. اگر $R_1 = 2$ و مقاومت معادل $R = \frac{4}{3}$ باشد، مقدار $R_2$ را بیابید. با جایگذاری داریم: $\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{R_2} \Rightarrow \frac{1}{R_2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow R_2 = 4$. همان‌طور که می‌بینید، عملیات با عبارت گویا به سادگی قابل انجام است. برای نامساوی‌های گویا نیز ابتدا دامنه را مشخص می‌کنیم، سپس همهٔ عبارات را به یک طرف برده و به صورت یک کسر واحد می‌نویسیم. سپس با استفاده از جدول علامت، ریشه‌های صورت و مخرج را مرتب کرده و بازه‌های پاسخ را استخراج می‌کنیم.

چالش‌های مفهومی

پاورقی

¹ چندجمله‌ای (Polynomial): عبارتی جبری شامل مجموع جمله‌هایی به شکل $ax^n$ که در آن $a$ عدد ثابت، $x$ متغیر و $n$ عددی صحیح و نامنفی است.
² مجانب (Asymptote): خطی است که نمودار یک تابع با نزدیک شدن متغیر به بینهایت یا به یک نقطهٔ خاص، بدون آنکه هرگز آن را قطع کند، بدان نزدیک می‌شود.