حد مجموع: اگر f و g در نقطه a حد داشته باشند، آنگاه f+g در a حد دارد و حد آن برابر جمع حدهای f و g است.

قضیه حد مجموع دو تابع

بیان دقیق قضیه حد مجموع

فرض کنید f و g دو تابع حقیقی باشند که هر دو در همسایگی نقطه a (به جز احتمالاً خود نقطه) تعریف شده‌اند. اگر حد f وقتی x به a نزدیک می‌شود برابر L و حد g برابر M باشد (هر دو حد عددی حقیقی و متناهی)، آنگاه حد مجموع دو تابع در نقطه a وجود دارد و برابر L+M خواهد بود. این قضیه یکی از قضیه‌های پایه‌ای در مبحث حد توابع است که به «قضیه حد مجموع» معروف است¹.

به عنوان یک مثال ملموس، فرض کنید در یک مسابقه دوچرخه‌سواری، سرعت دوچرخه‌سوار از دو منبع مختلف اندازه‌گیری می‌شود: سنسور روی چرخ که سرعت لحظه‌ای f(x) و دستگاه GPS که سرعت g(x) را نشان می‌دهد. اگر هر دو دستگاه در یک لحظه خاص به مقادیر مشخصی میل کنند، میانگین (یا مجموع) آن دو نیز رفتاری منظم خواهد داشت. این شهود ساده، پشت قضیه حد مجموع نهفته است.

بررسی اثبات گام‌به‌گام با زبان اپسیلون-دلتا

برای اثبات دقیق قضیه از تعریف حد به زبان ε-δ استفاده می‌کنیم. این اثبات در سطح دبیرستان به صورت مفهومی ارائه می‌شود:

گام اول: از فرض قضیه می‌دانیم برای هر ε_f > 0 وجود دارد δ_f > 0 چنانکه اگر 0 < |x-a| < δ_f آنگاه |f(x)-L| < ε_f. همچنین برای g به ازای هر ε_g > 0 وجود دارد δ_g > 0 چنانکه 0 < |x-a| < δ_g نتیجه دهد |g(x)-M| < ε_g.

گام دوم: هدف ما نشان دادن این است که برای هر ε > 0، می‌توان δ > 0 یافت به طوری که اگر 0 < |x-a| < δ آنگاه | (f(x)+g(x)) - (L+M) | < ε.

گام سوم: از نامساوی مثلث استفاده می‌کنیم:

گام چهارم: انتخاب می‌کنیم ε_f = ε_g = ε/2. آنگاه δ = min(δ_f, δ_g) را در نظر می‌گیریم. در نتیجه اگر 0 < |x-a| < δ، خواهیم داشت:

بنابراین:

که اثبات کامل می‌شود.

مقایسه رفتار حد در عملگرهای مختلف

مثال‌های عددی و جبری برای درک عمیق‌تر

مثال ۱ (توابع چندجمله‌ای): فرض کنید f(x) = 2x+1 و g(x) = x^2 - 3. می‌خواهیم حد f(x)+g(x) را وقتی x \to 2 محاسبه کنیم.
ابتدا حد هر تابع را جداگانه می‌یابیم:
$ \lim_{x \to 2} f(x) = 2(2)+1 = 5 $
$ \lim_{x \to 2} g(x) = (2)^2 - 3 = 4-3 = 1 $
طبق قضیه حد مجموع: $ \lim_{x \to 2} [f(x)+g(x)] = 5 + 1 = 6 $
با محاسبه مستقیم: $ f(x)+g(x) = x^2+2x-2 $ و $ \lim_{x \to 2} (x^2+2x-2) = 4+4-2=6 $ که تأییدکننده قضیه است.

مثال ۲ (توابع گویا):$ f(x) = \frac{1}{x} $ و $ g(x) = \frac{2}{x-1} $ در نقطه a=3. با جایگذاری مستقیم:
$ \lim_{x \to 3} f(x) = \frac{1}{3} $ و $ \lim_{x \to 3} g(x) = \frac{2}{2}=1 $
بنابراین حد مجموع برابر $ \frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3} $ خواهد بود.

کاربرد عملی: محاسبه حد توابع مثلثاتی در نقطه ناپیوستگی

فرض کنید می‌خواهیم $ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \right) $ را محاسبه کنیم. می‌دانیم $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ (قضیه فشردگی²) و $ \lim_{x \to 0} \cos x = 1 $. با استفاده از قضیه حد مجموع:
$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \right) = 1 + 1 = 2 $.
این روش از محاسبه مستقیم و چندگامه ساده‌تر است.

مثال دیگر در فیزیک: موقعیت یک متحرک روی خط راست از مجموع دو تابع $ s_1(t) = t^2 $ (ناشی از شتاب ثابت) و $ s_2(t) = 3t $ (ناشی از سرعت اولیه) تشکیل شده است. حد موقعیت در لحظه t \to 2 برابر است با $ \lim (t^2+3t) = 4+6=10 $. بدون نیاز به محاسبه مستقیم، قضیه حد مجموع این امکان را می‌دهد که حد هر بخش را جداگانه حساب کنیم.

پاورقی