تابع درجه دوم محدودشده؛ چگونه با محدود کردن دامنه، آن را یکبهیک و وارونپذیر کنیم؟
چرا توابع درجه دوم وارونپذیر نیستند؟
تابع درجه دوم به صورت کلی به شکل $f(x)=ax^2+bx+c$ با $a\ne 0$ است. نمودار آن سهمی1 است که اگر $a>0$ باشد، دهان آن باز و اگر $a\lt 0$ باشد، دهان آن بسته میشود. ویژگی مهم این است که هر تابع درجه دوم نسبت به خط عمودی که از راس میگذرد، متقارن است. همین تقارن باعث میشود که برای یک مقدار $y$ (به جز مقدار راس) دو مقدار $x$ متفاوت وجود داشته باشد، در نتیجه تابع یکبهیک2 نیست.
برای تشخیص یکبهیک بودن یک تابع از روی نمودار، از «آزمون خط افقی» استفاده میکنیم: اگر بتوان خطی موازی محور $x$ رسم کرد که نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن تابع یکبهیک نیست. برای سهمی، تقریباً همهٔ خطوط افقی (به جز خط گذرنده از راس) دو نقطهٔ برخورد دارند.
روش محدودسازی دامنه؛ انتخاب نیمهٔ سهمی
برای آنکه یک تابع درجه دوم وارونپذیر شود، دامنه را به بخشی محدود میکنیم که تابع روی آن اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی باشد. بهترین انتخاب، استفاده از راس سهمی به عنوان مرز است. دو حالت اصلی داریم:
- دامنهٔ $x \ge h$ که $h$ طول راس است — شاخهٔ راست سهمی.
- دامنهٔ $x \le h$ — شاخهٔ چپ سهمی.
در هر دو حالت تابع حاصل یکبهیک میشود. انتخاب کدام شاخه بستگی به مسئله یا کاربرد دارد. معمولاً برای سادگی از شاخهٔ راست ($x \ge h$) استفاده میکنیم.
۱) تابع را به شکل $f(x)=a(x-h)^2+k$ (راسنمای تابع درجه دوم) بنویسید.
۲) دامنه را به $x\ge h$ یا $x\le h$ محدود کنید.
۳) $y = a(x-h)^2 + k$ را بنویسید و $(x-h)^2 = \frac{y-k}{a}$ را بدست آورید.
۴) با در نظر گرفتن علامت دامنه، رادیکال را باز کنید: $x-h = \pm\sqrt{\frac{y-k}{a}}$ که علامت $+$ برای شاخهٔ راست و علامت $-$ برای شاخهٔ چپ است.
۵) در نهایت $x = h \pm \sqrt{\frac{y-k}{a}}$ را بنویسید و سپس متغیرها را جابهجا کنید تا ضابطهٔ وارون مشخص شود.
مثال کامل: تابع f(x)=x²-4x+5 با دو محدودیت مختلف
تابع $f(x)=x^2-4x+5$ را در نظر بگیرید. ابتدا آن را به فرم راس مینویسیم:
$f(x)=(x^2-4x+4)+1 = (x-2)^2+1$ بنابراین راس در $(2,1)$ است. دامنهٔ طبیعی همهٔ اعداد حقیقی است. حالا دو حالت:
- حالت اول: محدودسازی به $x \ge 2$ (شاخهٔ راست). تابع یکبهیک است و برد آن $y \ge 1$ خواهد بود. برای یافتن وارون: $y=(x-2)^2+1 \Rightarrow (x-2)^2 = y-1 \Rightarrow x-2 = +\sqrt{y-1} \Rightarrow x=2+\sqrt{y-1}$. پس $f^{-1}(x)=2+\sqrt{x-1}$ با دامنهٔ $x\ge 1$.
- حالت دوم: محدودسازی به $x \le 2$ (شاخهٔ چپ). باز هم تابع یکبهیک است و برد همان $y \ge 1$. در این حالت معادله را با علامت منفی حل میکنیم: $x-2 = -\sqrt{y-1} \Rightarrow x=2-\sqrt{y-1} \Rightarrow f^{-1}(x)=2-\sqrt{x-1}$ با دامنهٔ $x\ge 1$.
| ویژگی | شاخهٔ راست (x ≥ 2) | شاخهٔ چپ (x ≤ 2) |
|---|---|---|
| رفتار تابع | اکیداً صعودی | اکیداً نزولی |
| ضابطهٔ وارون | $2+\sqrt{x-1}$ | $2-\sqrt{x-1}$ |
| دامنهٔ وارون | $x \ge 1$ | $x \ge 1$ |
کاربرد عملی در مدلسازی و بهینهسازی
در مسائل فیزیک و اقتصاد، گاهی یک متغیر وابسته (مانند ارتفاع یا سود) به صورت درجه دوم به متغیر مستقل (زمان یا مقدار تولید) وابسته است، اما فقط نیمی از سهمی کاربرد واقعی دارد. برای نمونه، حرکت پرتابی یک توپ را در نظر بگیرید: ارتفاع بر حسب زمان یک سهمی رو به پایین است. اما بعد از رسیدن به نقطهٔ اوج، تنها فاز نزولی (یا صعودی بسته به مسئله) مورد نظر ماست. محدود کردن دامنه به $t \ge t_{\text{max}}$ یا $t \le t_{\text{max}}$ به ما اجازه میدهد که تابع معکوس را بنویسیم و زمان را بر اساس ارتفاع محاسبه کنیم. همچنین در اقتصاد، توابع هزینه یا سود ممکن است در ناحیهای محدود بررسی شوند تا وارونپذیری حفظ شود.
به عنوان یک مثال عددی، فرض کنید تابع سود یک شرکت به صورت $P(x)= -2x^2+40x-50$ باشد که $x$ تعداد کالاهای تولیدی (بر حسب هزار) و $P$ سود بر حسب میلیون تومان است. راس این سهمی در $x=10$ قرار دارد. اگر شرکت فقط در بازهٔ $x \ge 10$ (یعنی بعد از نقطهٔ حداکثر سود) تولید کند، تابع یکبهیک میشود و میتوان از معکوس آن برای یافتن تعداد کالا به ازای میزان سود مشخص استفاده کرد.
چالشهای مفهومی
خیر، تابع اصلی همان ضابطه را دارد اما فقط روی زیرمجموعهای از دامنهٔ اولیه تعریف میشود. به این تابع جدید «محدودیت تابع» میگویند. وارونپذیری فقط برای این تابع محدودشده معنا دارد، نه برای تابع اولیه با دامنهٔ کامل.
بله، همواره راس به عنوان نقطهٔ عطف، مرز مناسبی است. مهم نیست که راس روی کدام مقدار $y$ قرار دارد. فقط کافی است دامنه را به دو بازهٔ $x \ge h$ و $x \le h$ تقسیم کنید. در هر دو بازه تابع کاملاً یکبهیک خواهد بود.
اصولاً بله، چون راس تنها جایی است که تابع درجه دوم تغییر جهت میدهد. اگر محدودسازی را با مرز دیگری انجام دهید (مثلاً از $x \ge 5$ در حالی که راس در $2$ است) باز هم تابع یکبهیک خواهد بود، اما برد وارون تغییر میکند و بهینه نیست. در بسیاری از مسائل، بزرگترین بازهٔ یکبهیک از راس شروع میشود.
جمعبندی
پاورقی
1 سهمی (Parabola): نمودار یک تابع درجه دوم که شکلی متقارن و منحنی دارد.
2 تابع یکبهیک (One‑to‑One function): تابعی که هر عضو برد فقط متناظر با یک عضو دامنه باشد.
3 تابع وارون (Inverse function): تابعی که عمل تابع اصلی را خنثی میکند، به شرط آنکه تابع اصلی یکبهیک باشد.
