برد تابع وارون: رابطهی دامنه و برد در توابع معکوس
۱. تعریف دامنه و برد در توابع اصلی
هر تابع f دو مجموعهٔ مهم دارد: دامنه (Domain) که شامل تمام مقادیر مجاز ورودی (x) است و برد (Range) که شامل تمام مقادیر خروجی (y) میشود. برای نمونه، تابع $f(x)=\sqrt{x}$ را در نظر بگیرید. دامنهٔ آن تمام اعداد حقیقی $x \ge 0$ است و برد آن نیز $y \ge 0$ میباشد.
برای درک ارتباط با تابع وارون، ابتدا باید مطمئن شویم که تابع اصلی یکبهیک1 است. فقط توابع یکبهیک دارای وارون2 هستند. در غیر این صورت، برای وارونگیری باید دامنه را محدود کنیم.
۲. روش یافتن تابع وارون و نقش دامنه و برد
برای یافتن تابع وارون3 ($f^{-1}$) مراحل زیر را طی میکنیم:
- تابع را به صورت $y=f(x)$ مینویسیم.
- $x$ و $y$ را جابهجا میکنیم.
- معادله را برحسب $y$ حل میکنیم.
- $y=f^{-1}(x)$ را مینویسیم.
در این مرحله، یک قانون طلایی وجود دارد: دامنهٔ تابع وارون برابر با برد تابع اصلی است و برد تابع وارون برابر با دامنهٔ تابع اصلی است. این دو گزاره مکمل یکدیگرند و پایهٔ تمام محاسبات مربوط به توابع معکوس را تشکیل میدهند.
| تابع | دامنه | برد |
|---|---|---|
| $f(x)=x^2$ (با دامنهٔ محدود $x\ge 0$) | $[0, \infty)$ | $[0, \infty)$ |
| $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ | $[0, \infty)$ (برد تابع اصلی) | $[0, \infty)$ (دامنهٔ تابع اصلی) |
۳. بررسی گامبهگام با تابع درجه دوم (محدود شده)
تابع $f(x)=x^2$ به خودی خود روی تمام اعداد حقیقی یکبهیک نیست، زیرا $f(2)=4$ و $f(-2)=4$. اما با محدود کردن دامنه به $x \ge 0$، تابع یکبهیک میشود. حال مراحل یافتن وارون:
گام ۱:$y = x^2 \quad , \quad x \ge 0$
گام ۲: جابهجایی: $x = y^2$
گام ۳: حل برای $y$: $y = \sqrt{x}$ (فقط ریشهٔ مثبت، چون دامنهٔ اصلی $x\ge0$ بود)
گام ۴:$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$
حال دامنهٔ تابع وارون: همانطور که میبینیم، $\sqrt{x}$ فقط برای $x \ge 0$ تعریف میشود که دقیقاً برابر با برد تابع اصلی ($y \ge 0$) است. همچنین برد تابع وارون $y \ge 0$ است که با دامنهٔ اصلی (محدود شده) برابر میباشد.
۴. کاربرد عملی: پیدا کردن دامنهٔ وارون از روی برد اصلی
فرض کنید تابع $g(x)=\frac{1}{x-2}+3$ را داریم. دامنهٔ $g$ تمام اعداد حقیقی به جز $2$ است ($x \neq 2$). برای یافتن برد این تابع (که همان دامنهٔ وارون خواهد بود) میتوانیم معادله را نسبت به $x$ حل کنیم و ببینیم کدام مقادیر $y$ مجازند:
$y = \frac{1}{x-2}+3 \implies y-3 = \frac{1}{x-2} \implies x-2 = \frac{1}{y-3} \implies x = 2+\frac{1}{y-3}$
عبارت $\frac{1}{y-3}$ زمانی تعریف میشود که $y \neq 3$. بنابراین برد تابع اصلی تمام اعداد حقیقی به جز $3$ است. در نتیجه، دامنهٔ تابع وارون$g^{-1}$ برابر با $\mathbb{R} - \{3\}$ خواهد بود. توجه کنید که خود تابع وارون به صورت $g^{-1}(x)=2+\frac{1}{x-3}$ نوشته میشود و دامنهٔ آن دقیقاً $x \neq 3$ است.
۵. چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. برای وجود تابع وارون، تابع اصلی حتماً باید یکبهیک باشد. در غیر این صورت، رابطهای که از جابهجایی $x$ و $y$ حاصل میشود، یک تابع نیست (چون یک ورودی ممکن است چند خروجی داشته باشد). راه حل، محدود کردن دامنهٔ تابع اصلی به قسمتی است که یکبهیک باشد.
پاسخ: بله، این یک قضیهٔ اساسی در ریاضیات است. به شرط آنکه تابع اصلی یکبهیک باشد، برد آن (مجموعهٔ تمام مقادیر خروجی ممکن) دقیقاً همان مجموعهای است که میتواند به عنوان ورودی به تابع وارون داده شود. هیچ استثنایی وجود ندارد.
پاسخ: از آنجا که نمودار تابع وارون، بازتاب نمودار تابع اصلی نسبت به خط $y=x$ است، دامنهٔ وارون برابر با برد تابع اصلی است که روی محور عمودی ($y$) خوانده میشود. کافی است گسترهٔ مقادیر $y$ را روی نمودار تابع اصلی مشاهده کنید.
۶. جمعبندی
پاورقیها
1 یکبهیک (Injective or One-to-One): تابعی که هر عضو از برد آن تنها توسط یک عضو از دامنه به دست آید؛ یعنی $f(a)=f(b)$ نتیجه دهد $a=b$.
2 وارون (Inverse Function): تابعی مانند $f^{-1}$ که به ازای هر $x$ در دامنهٔ $f$ داشته باشیم $f^{-1}(f(x))=x$ و به ازای هر $y$ در دامنهٔ $f^{-1}$ داشته باشیم $f(f^{-1}(y))=y$.
3 تابع وارون (Inverse Function): همان تعریف در پانویس شماره ۲. این عدد به دلیل استفادهٔ اول از واژهٔ «وارون» در بخش روش یافتن تکرار شده است.