دامنه تابع: مجموعه ورودیهای مجاز
دامنه در توابع جبری و چندجملهای
در توابع چندجملهای مانند $f(x)=x^2+3x-5$ دامنه همه اعداد حقیقی است، زیرا به ازای هر عدد حقیقی میتوان مقدار تابع را محاسبه کرد. اما در توابع شامل کسر، رادیکال یا لگاریتم، برخی ورودیها مجاز نیستند. برای نمونه تابع $f(x)=\frac{1}{x-2}$ در $x=2$ تعریف نمیشود، زیرا مخرج صفر میشود. بنابراین دامنه آن شامل همه اعداد حقیقی به جز $x=2$ است. در نگارش ریاضی مینویسیم: $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne 2\}$.
دامنه در توابع رادیکالی (ریشههای زوج و فرد)
برای ریشههای زوج مانند جذر ($\sqrt{}$) یا ریشه چهارم، عبارت زیر رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد. تابع $f(x)=\sqrt{x-3}$ تنها زمانی تعریف میشود که $x-3 \ge 0$ یعنی $x \ge 3$. اما برای ریشههای فرد مانند ریشه سوم، دامنه همه اعداد حقیقی است، زیرا ریشه فرد از اعداد منفی نیز تعریف میشود. مثال: $\sqrt[3]{-8} = -2$.
| نوع تابع | مثال | شرط دامنه | دامنه (به صورت بازه) |
|---|---|---|---|
| چندجملهای | $x^2+1$ | بدون شرط | $(-\infty,+\infty)$ |
| گویا (کسری) | $\frac{1}{x}$ | مخرج $\ne 0$ | $(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$ |
| رادیکالی (زوج) | $\sqrt{x}$ | زیر رادیکال $\ge 0$ | $[0,+\infty)$ |
| لگاریتمی | $\ln(x)$ | ورودی لگاریتم $>0$ | $(0,+\infty)$ |
دامنه در توابع لگاریتمی و نمایی
تابع لگاریتمی $f(x)=\log_a (x)$ فقط برای $x \gt 0$ و پایهٔ مثبت و مخالف یک تعریف میشود. دقت کنید که عبارت داخل لگاریتم همیشه باید مثبت باشد. برای تابع $f(x)=\log_2 (x^2-4)$ باید $x^2-4 \gt 0$ که نتیجه میدهد $x \lt -2$ یا $x \gt 2$. در مقابل تابع نمایی1 مانند $f(x)=a^x$ برای همه اعداد حقیقی تعریف شده است، زیرا توان میتواند هر عدد حقیقی باشد.
کاربرد عملی دامنه: مدلسازی یک مسئله واقعی
فرض کنید یک شرکت تولیدکننده، هزینه تولید $x$ محصول را با تابع $C(x)=500+\frac{200}{x-10}$ هزار تومان بیان کند. در اینجا $x$ تعداد محصولات است که نمیتواند برابر $10$ باشد (توقف تولید) و همچنین تعداد محصولات منفی معنی ندارد؛ پس دامنه شامل اعداد صحیح مثبت به جز $10$ است: $x \in \mathbb{N} \setminus \{10\}$. همچنین اگر تابع سود به صورت $P(x)=\sqrt{100-x^2}$ باشد، دامنه آن $[-10,10]$ است که در عمل فقط مقادیر بین صفر تا ده را شامل میشود (تعداد محصول نمیتواند منفی باشد).
چالشهای مفهومی در یافتن دامنه
پاسخ: زیرا جذر نیاز به $x \ge 0$ دارد و مخرج کسر نباید صفر شود یعنی $x \ne 1$. اشتراک این دو شرط دامنه را میسازد: $[0,1) \cup (1,+\infty)$.
پاسخ: خیر، تابع تانژانت در نقاطی که کسینوس صفر میشود یعنی $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (که $k$ عدد صحیح است) تعریف نمیشود، بنابراین دامنه آن همه اعداد حقیقی به استثنای این نقاط است.
پاسخ: ابتدا شرط جذر: $4-x^2 \ge 0 \Rightarrow -2 \le x \le 2$. سپس شرط لگاریتم: عبارت داخل لگاریتم یعنی $\sqrt{4-x^2} \gt 0$. ریشهی جذر فقط در $x=\pm 2$ صفر میشود، پس این دو نقطه را از بازه حذف میکنیم. دامنه نهایی $(-2,2)$ است.
پاورقی
1 تابع نمایی (Exponential Function): تابعی به شکل $f(x)=a^x$ که در آن $a \gt 0$ و $a \ne 1$ و دامنه آن همه اعداد حقیقی است.