برابری دو تابع: دامنه، قانون، و مقدارها
دامنه، قانون و مقدار؛ سه رکن اصلی یک تابع
هر تابع در ریاضیات1 با سه ویژگی مشخص میشود: دامنه، قانون یا ضابطه و برد. دامنه مجموعهٔ تمام ورودیهای مجاز است. قانون مشخص میکند هر ورودی به چه خروجی تبدیل شود. برد نیز مجموعهٔ خروجیهای واقعی است. برای بررسی برابری دو تابع، تنها به دامنه و قانون نیاز داریم؛ زیرا اگر دامنه و قانون یکسان باشند، برد نیز به طور خودکار یکسان میشود.
به عنوان مثال، تابع $f(x)=x^2$ را با دامنهٔ $\mathbb{R}$ (همهٔ اعداد حقیقی) در نظر بگیرید. اگر تابع دیگری مانند $g(x)=x^2$ با دامنهٔ $\mathbb{R}$ تعریف شود، آنگاه $f=g$ است. اما اگر دامنهٔ $g$ فقط اعداد نامنفی باشد، یعنی $\mathbb{R}^{\ge 0}$، در این صورت دو تابع برابر نیستند، زیرا عدد -2 در دامنهٔ $f$ وجود دارد ولی در دامنهٔ $g$ نیست.
شرط برابری دو تابع به زبان ریاضی
دو تابع $f$ و $g$ را برابر میگوییم، هر گاه:
- شرط اول (برابری دامنه):$D_f = D_g$
- شرط دوم (برابری مقدار در هر نقطه): برای هر $x \in D_f$ داشته باشیم $f(x)=g(x)$
اگر هر یک از این دو شرط برقرار نباشد، توابع با هم برابر نیستند. توجه کنید که ممکن است دو تابع با قوانین متفاوت به ظاهر، پس از سادهسازی ریاضی به قوانین یکسان تبدیل شوند. در این صورت اگر دامنهها نیز یکسان باشند، توابع برابر خواهند بود.
جدول مقایسهٔ توابع برابر در برابر توابع نابرابر
| ویژگی | توابع برابر | توابع نابرابر |
|---|---|---|
| دامنه | کاملاً یکسان | متفاوت (حداقل یک عضو اضافه یا کم) |
| قانون ضابطه | پس از سادهسازی یکسان باشد | حتی در یک نقطه از دامنه، مقدارها متفاوت است |
| مقدار در یک ورودی خاص | برای هر x برابر است | حداقل یک x وجود دارد که $f(x)\neq g(x)$ |
کاربرد عملی: تشخیص توابع برابر در مسائل ریاضی
فرض کنید در یک مسئلهٔ فیزیک، سرعت یک متحرک با دو فرمول متفاوت داده شده است: $v_1(t)=2t+1$ برای $t \ge 0$ و $v_2(t)=\frac{4t^2+2t}{2t}$ برای $t \gt 0$. ابتدا دامنهها را مقایسه کنید. دامنهٔ اولی $[0,\infty)$ و دومی $(0,\infty)$ است. نقطهٔ t=0 در دامنهٔ اول هست ولی در دامنهٔ دوم نیست. بنابراین بدون بررسی قانون، میگوییم توابع برابر نیستند. اگر دامنهٔ دوم را نیز به $[0,\infty)$ گسترش دهیم و برای t=0 مقدار حدی تعریف کنیم، آنگاه قانون دوم ساده میشود: $\frac{2t(2t+1)}{2t}=2t+1$ برای t \gt 0. اگر مقدار در t=0 نیز 1 تعریف شود، دو تابع برابر خواهند شد.
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. زیرا $\sqrt{x^2}=|x|$ که برای اعداد منفی با $x$ برابر نیست. برای x=-2 داریم $f(-2)=2$ و $g(-2)=-2$. پس شرط دوم نقض میشود.
پاسخ: خیر. تساوی توابع نیازمند یکسانی کامل دامنه است. اگر دامنهها متفاوت باشند، حتی اگر در ناحیهٔ اشتراک مقادیر یکسان داشته باشند، توابع متفاوت محسوب میشوند.
پاسخ: خیر. اگر دامنهٔ $h$ را به $\mathbb{R}-\{0\}$ محدود کنیم، آنگاه برابر میشوند. اما با دامنهٔ پیشفرض، به دلیل وجود 0 در دامنهٔ $h$ که در دامنهٔ $f$ نیست، دو تابع نابرابرند.
جمعبندی
پاورقی
1 تابع (Function): رابطهای است بین دو مجموعه که هر عضو از مجموعهٔ اول (دامنه) را دقیقاً به یک عضو از مجموعهٔ دوم (برد) نسبت میدهد.
2 دامنه (Domain): مجموعهٔ تمام مقادیری که میتوان به عنوان ورودی به تابع داد.
3 قانون یا ضابطه (Rule or Formula): ارتباط ریاضی بین ورودی و خروجی که معمولاً به صورت یک عبارت جبری نوشته میشود.