انتقال نمودار تابع: جابهجایی در صفحه مختصات بدون تغییر شکل
۱. انتقال عمودی: حرکت به بالا و پایین
انتقال عمودی زمانی رخ میدهد که یک عدد ثابت به کل تابع اضافه یا از آن کم شود. اگر تابع اصلی $y = f(x)$ باشد، آنگاه:
- انتقال به بالا:$y = f(x) + k$ که در آن $k \gt 0$، نمودار را به اندازه $k$ واحد به بالا میبرد.
- انتقال به پایین:$y = f(x) - k$ که در آن $k \gt 0$، نمودار را به اندازه $k$ واحد به پایین میبرد.
مثال گامبهگام: تابع $f(x) = x^2$ (سهمی) را در نظر بگیرید. اگر بخواهیم نمودار آن را ۳ واحد به بالا منتقل کنیم، تابع جدید به صورت $g(x) = x^2 + 3$ نوشته میشود. نقطه رأس سهمی از $(0,0)$ به $(0,3)$ منتقل میشود. برای انتقال به پایین به اندازه ۲ واحد: $h(x) = x^2 - 2$ که رأس آن $(0,-2)$ خواهد بود.
۲. انتقال افقی: حرکت به چپ و راست
انتقال افقی زمانی اتفاق میافتد که یک عدد ثابت به متغیر ورودی ($x$) اضافه یا از آن کم شود. برای تابع اصلی $y = f(x)$ داریم:
- انتقال به راست:$y = f(x - h)$ که در آن $h \gt 0$، نمودار را به اندازه $h$ واحد به راست منتقل میکند.
- انتقال به چپ:$y = f(x + h)$ که در آن $h \gt 0$، نمودار را به اندازه $h$ واحد به چپ منتقل میکند.
مثال گامبهگام: تابع $f(x) = \sqrt{x}$ که از مبدأ شروع میشود را در نظر بگیرید. برای انتقال به راست به اندازه ۴ واحد، تابع جدید $g(x) = \sqrt{x - 4}$ خواهد بود. اکنون نقطه شروع نمودار از $(0,0)$ به $(4,0)$ منتقل میشود. برای انتقال به چپ به اندازه ۲ واحد: $h(x) = \sqrt{x + 2}$ که نقطه شروع آن $(-2,0)$ خواهد بود.
۳. انتقالهای ترکیبی: حرکت همزمان در دو جهت
میتوان انتقال افقی و عمودی را با هم ترکیب کرد. فرمول کلی برای انتقال ترکیبی به صورت زیر است:
در این فرمول، $h$ مقدار جابهجایی افقی (علامت مخالف) و $k$ مقدار جابهجایی عمودی (همعلامت) را نشان میدهد.
مثال عملی: فرض کنید یک مهندس معمار میخواهد قوس یک پل را که به شکل سهمی $y = x^2$ است، به گونهای منتقل کند که رأس آن از مبدأ به نقطه $(3, 5)$ برود. طبق فرمول داریم: $h = 3$ و $k = 5$. بنابراین معادله جدید قوس برابر $y = (x - 3)^2 + 5$ خواهد بود. برای انتقال به نقطه $(-2, -4)$، داریم $h = -2$ و $k = -4$ که معادله $y = (x + 2)^2 - 4$ به دست میآید.
| نوع انتقال | فرمول تابع جدید | جهت حرکت | مثال با $f(x)=x^2$ |
|---|---|---|---|
| عمودی به بالا | $f(x)+k$ | $k$ واحد به بالا | $x^2+3$ |
| عمودی به پایین | $f(x)-k$ | $k$ واحد به پایین | $x^2-2$ |
| افقی به راست | $f(x-h)$ | $h$ واحد به راست | $(x-4)^2$ |
| افقی به چپ | $f(x+h)$ | $h$ واحد به چپ | $(x+2)^2$ |
کاربرد عملی در طراحی و انیمیشن
در برنامههای کامپیوتری و طراحی بازیهای رایانهای1، برای جابهجایی یک کاراکتر یا یک جسم روی صفحه، از انتقال نمودار توابع استفاده میشود. فرض کنید مسیر یک توپ مطابق تابع $y = -x^2 + 4x$ (یک سهمی رو به پایین) باشد. اگر بخواهیم همین توپ را ۵ واحد به راست و ۲ واحد به بالا منتقل کنیم، کافی است تابع جدید را به صورت $y = -(x-5)^2 + 4(x-5) + 2$ بنویسیم. پس از سادهسازی، مسیر جدید توپ به دست میآید در حالی که شکل سهمی کاملاً حفظ شده است.
چالشهای مفهومی
پاسخ: زیرا برای اینکه تابع در نقطهای مانند $x = a$ مقدار قبلی خود را در نقطه $x = a-h$ بیابد، باید ورودی را جبران کنیم. اگر بخواهیم نمودار به راست برود، مقدار $x$ بزرگتر میشود، بنابراین برای رسیدن به همان خروجی، باید مقدار کمتری از $x$ را به تابع بدهیم، از این رو $x-h$ ظاهر میشود.
پاسخ: خیر، در نهایت هر نقطه از نمودار به نقطهای با مختصات $(x+h , y+k)$ منتقل میشود. چه ابتدا افقی و سپس عمودی جابهجا کنید و چه برعکس، نتیجه نهایی یکسان خواهد بود، زیرا جمع بردارها جابهجایی پذیر است.
پاسخ: در انتقال، شکل و اندازه نمودار کاملاً حفظ میشود و فقط موقعیت آن عوض میشود. اما در تغییر مقیاس مانند $y = 2f(x)$ یا $y = f(2x)$، ابعاد نمودار تغییر میکند (کشیده یا فشرده میشود) و شکل کلی دگرگون میشود.
پاورقی
2 انتقال (Translation): عملی که در آن هر نقطه از نمودار با افزودن بردار ثابت جابهجا میشود.
3 تغییر مقیاس (Scaling): عملی که در آن ابعاد نمودار با ضرب کردن در یک عامل عددی تغییر میکند.
