فاصله دو نقطه در صفحه مختصات
پیشنیازها: دستگاه مختصات و فاصله افقی و عمودی
در صفحه مختصات دکارتی1، هر نقطه با یک جفت عدد مرتب به صورت $(x , y)$ نمایش داده میشود. محور افقی را طول یا محور $x$ و محور عمودی را عرض یا محور $y$ مینامند. اگر دو نقطه $A(x_1 , y_1)$ و $B(x_2 , y_2)$ داشته باشیم، برای محاسبه فاصله مستقیم بین آنها باید از رابطه فیثاغورس کمک بگیریم.
ابتدا تفاوت افقی (طول پارهخط موازی محور $x$) و تفاوت عمودی (طول پارهخط موازی محور $y$) را محاسبه میکنیم:
- تفاوت طولی = $|x_2 - x_1|$
- تفاوت عرضی = $|y_2 - y_1|$
فرمول اصلی فاصله: ریشه حاصلجمع مربع تفاضلها
بر اساس قضیه فیثاغورس2، در مثلث قائمالزاویه، مربع وتر (ضلع مقابل زاویه قائمه) برابر مجموع مربعهای دو ضلع دیگر است. برای دو نقطه $A(x_1 , y_1)$ و $B(x_2 , y_2)$، فاصله $d$ برابر است با:
این فرمول برای هر جفت نقطه در صفحه معتبر است. توجه داشته باشید که تفاضل مختصات با هر ترتیبی (به دلیل توان دو) همواره مثبت یا صفر خواهد بود. در بسیاری از کتابهای درسی، به جای قدرمطلق، از مربع کردن استفاده میشود تا علامت منفی حذف شود.
| نوع پارهخط | شرایط | فرمول محاسبه |
|---|---|---|
| افقی | $y_1 = y_2$ | $d = |x_2 - x_1|$ |
| عمودی | $x_1 = x_2$ | $d = |y_2 - y_1|$ |
| مایل (عمومی) | هر دو تفاضل ناصفر | $d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ |
اثبات هندسی با رسم مثلث قائمالزاویه
برای اثبات فرمول، از نقطه $A(x_1,y_1)$ خطی موازی محور $x$ و از نقطه $B(x_2,y_2)$ خطی موازی محور $y$ رسم میکنیم تا در نقطه $C(x_2 , y_1)$ همدیگر را قطع کنند. بدین ترتیب مثلث $ABC$ با زاویه قائمه در رأس $C$ تشکیل میشود. ضلع $AC$ افقی و به طول $|x_2 - x_1|$ و ضلع $BC$ عمودی و به طول $|y_2 - y_1|$ است. وتر $AB$ همان فاصله بین دو نقطه است. با نوشتن رابطه فیثاغورس به فرمول اصلی میرسیم.
1️⃣ تفاضل طولی: $4 - 1 = 3$
2️⃣ تفاضل عرضی: $6 - 2 = 4$
3️⃣ مربع تفاضل طولی: $3^2 = 9$
4️⃣ مربع تفاضل عرضی: $4^2 = 16$
5️⃣ مجموع: $9 + 16 = 25$
6️⃣ جذر: $\sqrt{25} = 5$
✅ طول پارهخط برابر $5$ واحد است.
کاربرد عملی: نقشهخوانی و مسیریابی در صفحه
یکی از کاربردهای روزمره فرمول فاصله، تخمین کوتاهترین مسیر مستقیم بین دو مکان در نقشههای شهری است. فرض کنید مختصات یک کتابخانه به صورت $(2 , 3)$ و مختصات یک مدرسه به صورت $(8 , 11)$ کیلومتر (نسبت به یک مبدأ فرضی) باشد. فاصله مستقیم بین آنها برابر است با:
یعنی کوتاهترین مسیر هوایی ۱۰ کیلومتر است. این روش در سامانههای موقعیتیاب (جیپیاس) و رباتیک نیز بهکار میرود.
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. چون تفاضل مختصات به توان دو میرسد، $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$. بنابراین فاصله از $A$ تا $B$ با فاصله از $B$ تا $A$ برابر است.
پاسخ: اگر نقطه $A(0,0)$ و نقطه $B(x,y)$ باشد، فاصله ساده میشود به $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ که همان فاصله نقطه تا مبدأ است.
پاسخ: خیر، برای هر عدد حقیقی (اعشاری، کسری و ...) معتبر است. تنها کافی است تفاضل و مجذور را محاسبه کنید. مثلاً برای $A(1.5 , 2.3)$ و $B(4.1 , 5.7)$ نیز به کار میرود.
جمعبندی
پاورقی
1 دستگاه مختصات دکارتی (Cartesian Coordinate System): سامانهای برای تعیین موقعیت نقاط در صفحه با استفاده از دو محور عمود بر هم و جفتهای مرتب ($x , y$).
2 قضیه فیثاغورس (Pythagorean Theorem): در هر مثلث قائمالزاویه، مربع وتر برابر مجموع مربعهای دو ضلع دیگر است: $c^2 = a^2 + b^2$.
3 فاصله اقلیدسی (Euclidean Distance): اندازه کوتاهترین خط راست بین دو نقطه در صفحه یا فضا که از رابطه فیثاغورس به دست میآید.
