عرض نقطه (مؤلفه عمودی y)
دستگاه مختصات دکارتی و نقش مؤلفه عمودی
دستگاه مختصات دکارتی1 از دو محور عمود بر هم تشکیل شده است: محور افقی (x) و محور عمودی (y). هر نقطه در صفحه با یک جفت عدد مرتب به شکل (x , y) مشخص میشود. به عدد اول (x) «طول نقطه» یا «مؤلفه افقی» و به عدد دوم (y) «عرض نقطه» یا «مؤلفه عمودی» میگویند.
عرض نقطه نشاندهنده فاصله (با علامت) نقطه از محور xها است. اگر y > 0 باشد، نقطه در نیمصفحه بالایی (بالای محور x) قرار دارد. اگر y \lt 0 باشد، نقطه در نیمصفحه پایینی (زیر محور x) واقع شده است. وقتی y = 0، نقطه دقیقاً روی محور افقی قرار میگیرد.
مقایسه مؤلفه افقی (طول) و مؤلفه عمودی (عرض)
| ویژگی | مؤلفه افقی (طول) x | مؤلفه عمودی (عرض) y |
|---|---|---|
| محور مرتبط | محور x (افقی) | محور y (عمودی) |
| جهت افزایش | راست | بالا |
| علامت مثبت | سمت راست محور عمودی | سمت بالای محور افقی |
| علامت منفی | سمت چپ محور عمودی | سمت پایین محور افقی |
| کاربرد در تابع y = f(x) | ورودی (دامنه) | خروجی (مقدار تابع) |
محاسبه شیب خط با استفاده از تفاوت عرض نقاط
یکی از مهمترین کاربردهای مؤلفه عمودی، محاسبه شیب خط2 بین دو نقطه است. اگر دو نقطه A(x_1 , y_1) و B(x_2 , y_2) داشته باشیم، شیب خط m از رابطه زیر به دست میآید:
در این فرمول، \Delta y (تغییرات عرض) نشان میدهد که با حرکت از A به B، مقدار عمودی چه اندازه تغییر کرده است. به عبارت دیگر، y_2 - y_1 نشاندهنده میزان «بالا یا پایین رفتن» بین دو نقطه است.
مثال گامبهگام: نقاط P(1 , 2) و Q(4 , 8) را در نظر بگیرید. برای محاسبه شیب:
گام 1: اختلاف عرضها را محاسبه کنید: \Delta y = 8 - 2 = 6 (یعنی 6 واحد بالا رفتهایم).
گام 2: اختلاف طولها را محاسبه کنید: \Delta x = 4 - 1 = 3.
گام 3: شیب برابر است با $ m = \frac{6}{3} = 2 $.
کاربرد عملی: رسم نمودار تابع خطی
فرض کنید میخواهیم تابع y = 2x + 1 را در بازه -2 \le x \le 2 رسم کنیم. مقدار y برای هر x با استفاده از رابطه به دست میآید:
| x (طول) | y = 2x + 1 (عرض) | نقطه |
|---|---|---|
| -2 | -3 | (-2 , -3) |
| 0 | 1 | (0 , 1) |
| 2 | 5 | (2 , 5) |
با قرار دادن این نقاط روی صفحه مختصات و وصل کردن آنها، خطی با شیب 2 و عرض از مبدأ3 برابر 1 به دست میآید. دقت کنید که عرض از مبدأ همان مقدار y در نقطه برخورد خط با محور عمودی است (یعنی وقتی x = 0).
چالشهای مفهومی پیرامون مؤلفه عمودی
پرسش 1: آیا دو نقطه با عرض یکسان، حتماً روی یک خط افقی قرار دارند؟
پاسخ: بله. اگر y_1 = y_2 باشد، آنگاه \Delta y = 0 و شیب خط m = 0 میشود. خطی با شیب صفر، خطی افقی است. بنابراین هر دو نقطه روی خطی موازی با محور xها قرار میگیرند.
پرسش 2: اگر نقطهای روی محور xها باشد، عرض آن چند است؟
پاسخ: هر نقطه روی محور افقی (محور xها) دارای عرض صفر است. زیرا فاصله عمودی آن از این محور برابر صفر است. مثال: نقطه (5 , 0) روی محور xها قرار دارد.
پرسش 3: چگونه میتوان قرینه یک نقطه را نسبت به محور افقی (محور xها) به دست آورد؟
پاسخ: برای قرینه کردن نقطه (x , y) نسبت به محور xها، علامت مؤلفه عمودی (عرض) را تغییر میدهیم. یعنی نقطه قرینه برابر است با (x , -y). به عنوان مثال، قرینه نقطه (3 , 4) نسبت به محور افقی، نقطه (3 , -4) خواهد بود.
جمعبندی
پاورقی
1 دستگاه مختصات دکارتی (Cartesian coordinate system): روشی برای تعیین موقعیت نقاط در صفحه با استفاده از دو محور عددی عمود بر هم.
2 شیب خط (Slope): معیاری برای سنجش تندی و جهت یک خط که از نسبت تغییرات عمودی به تغییرات افقی به دست میآید.
3 عرض از مبدأ (y-intercept): مقدار y در نقطهای که خط نمودار یک تابع، محور عمودی را قطع میکند (یعنی وقتی x = 0).