رابطههای جمع و حاصلضرب ریشهها با ضرایب معادله درجه دوم
فرمول استاندارد و ریشههای معادله درجه دوم
هر معادله درجه دوم به فرم کلی $ax^2 + bx + c = 0$ نوشته میشود که در آن $a \neq 0$ و $a, b, c$ اعداد حقیقی (یا مختلط) هستند. ریشههای این معادله (که با $x_1$ و $x_2$ نمایش میدهیم) مقادیری از $x$ هستند که معادله را برقرار میکنند. طبق قضیهٔ اساسی جبر، یک معادله درجه دوم حداکثر دو ریشه دارد (که ممکن است مساوی یا مختلط باشند).
برای نمونه، فرض کنید معادله $2x^2 - 8x + 6 = 0$ را داریم. با تقسیم بر $2$ به $x^2 - 4x + 3 = 0$ میرسیم که ریشههای آن $x_1 = 1$ و $x_2 = 3$ هستند. در ادامه خواهیم دید که این ریشهها چه رابطهای با ضرایب $2, -8, 6$ دارند.
قوانین اصلی جمع و حاصلضرب ریشهها (فرمولهای ویتا1)
برای معادلهٔ $ax^2 + bx + c = 0$ با ریشههای $x_1$ و $x_2$ (بدون نیاز به حل معادله)، دو رابطهٔ مهم برقرار است:
این قوانین به افتخار ریاضیدان فرانسوی، فرانسوا ویتا1، «فرمولهای ویتا» نامیده میشوند. اثبات آنها ساده است: فرض کنید $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. با باز کردن پرانتزها: $a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2] = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2$. حال با مقایسه با $ax^2 + bx + c$ داریم $-a(x_1 + x_2) = b$ و $a x_1 x_2 = c$ که نتیجهٔ مطلوب حاصل میشود.
| شرط روی ضرایب | جمع ریشهها ($x_1+x_2$) | حاصلضرب ریشهها ($x_1 x_2$) |
|---|---|---|
| $b = 0$ (جمله x حذف) | $0$ | $c/a$ |
| $c = 0$ (جمله ثابت صفر) | $-b/a$ | $0$ (ریشه صفر دارد) |
| ریشههای قرینه ($x_2 = -x_1$) | $0$ ⇒ $b=0$ | منفی یا صفر |
| ریشههای معکوس ($x_2 = 1/x_1$) | $x_1 + 1/x_1$ | $1$ ⇒ $c = a$ |
ساختن معادله درجه دوم با دانستن ریشهها
اگر جمع $S = x_1 + x_2$ و حاصلضرب $P = x_1 x_2$ دو عدد را بدانیم، معادلهای که این دو ریشه را دارد به صورت $x^2 - Sx + P = 0$ نوشته میشود (ضریب $a=1$). در حالت کلی، معادله به فرم $a(x^2 - Sx + P)=0$ خواهد بود.
مثال گامبهگام: فرض کنید میخواهیم معادلهای بسازیم که ریشههای آن $2+\sqrt{3}$ و $2-\sqrt{3}$ باشند. گام اول: محاسبه $S = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$. گام دوم: $P = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$. گام سوم: معادله $x^2 - 4x + 1 = 0$ بدست میآید. با تست کردن، میبینید که این دو مقدار واقعاً آن را برآورده میکنند.
کاربرد عملی در مسائل دونمایی و دستگاهها
یکی از کاربردهای جذاب این روابط، حل معادلاتی است که به صورت $x + y = m$ و $xy = n$ ظاهر میشوند. در اینجا $x$ و $y$ ریشههای معادلهٔ $t^2 - mt + n = 0$ هستند. برای نمونه، دو عدد پیدا کنید که مجموعشان $7$ و حاصلضربشان $12$ باشد. معادله $t^2 - 7t + 12 = 0$ را حل میکنیم: $\Delta = 49 - 48 = 1$، پس $t = \frac{7 \pm 1}{2}$ که اعداد $4$ و $3$ بدست میآیند. حتی بدون حل معادله میتوان حدس زد که این دو عدد ریشههای معادلهٔ درجه دوم هستند.
مثال عینی دیگر: در مسائل فیزیک حرکت پرتابی، گاهی مجموع زمانهای صعود و فرود ($t_1 + t_2$) و حاصلضرب آنها ($t_1 t_2$) از معادلهٔ درجه دوم زمان به دست میآید و با استفاده از روابط ویتا میتوان برد یا حداکثر ارتفاع را بدون محاسبه مستقیم هر زمان بدست آورد.
چالشهای مفهومی
بله، این روابط کاملاً عمومی هستند و برای هر معادله درجه دومی با ضرایب حقیقی یا مختلط صادق میباشند. حتی اگر ریشهها غیرحقیقی (مختلط) باشند، باز هم $x_1 + x_2 = -b/a$ و $x_1 x_2 = c/a$ بدون تغییر باقی میمانند. برای مثال معادله $x^2 + x + 1 = 0$ دارای ریشههای مختلط $-\frac12 \pm i\frac{\sqrt3}{2}$ است. جمع آنها $-1$ و حاصلضربشان $1$ است که دقیقاً منطبق بر $-b/a = -1$ و $c/a = 1$ میباشد.
در حالت ریشهٔ مضاعف داریم $x_1 = x_2 = r$. آنگاه جمع ریشهها برابر $2r = -b/a$ و حاصلضرب برابر $r^2 = c/a$ خواهد بود. از این روابط میتوان برای یافتن شرط تمیز (دلتا) استفاده کرد: $\Delta = b^2 - 4ac = 0$ معادل با یکسان بودن دو ریشه است. همچنین اگر بدانیم ریشهها مساوی هستند، میتوان مقدار آن ریشه را از $r = -b/(2a)$ محاسبه کرد.
از اتحاد جبری $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ استفاده میکنیم. با جایگذاری مقادیر $S = -b/a$ و $P = c/a$ داریم: $x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$. به همین ترتیب میتوان $x_1^3 + x_2^3$ یا $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ را نیز بدون حل معادله محاسبه کرد.
روابط بین ریشهها و ضرایب در معادله درجه دوم (فرمولهای ویتا) ابزاری قدرتمند و ساده برای تحلیل معادلات بدون نیاز به حل مستقیم آنها هستند. با دانستن جمع $S = -b/a$ و حاصلضرب $P = c/a$ میتوان معادله را بازسازی کرد، عبارات متقارن از ریشهها را محاسبه نمود و مسائل کاربردی مانند پیدا کردن دو عدد با مجموع و حاصلضرب معلوم را حل کرد. این مفاهیم پایهٔ بسیاری از مباحث پیشرفتهتر در جبر و آنالیز ریاضی هستند.
پاورقی
1 ویتا (Viète): François Viète (1540-1603) ریاضیدان فرانسوی که قوانین مربوط به جمع و حاصلضرب ریشههای چندجملهایها را کشف کرد.2 دلتا (Delta): در معادله درجه دوم، عبارت $\Delta = b^2 - 4ac$ که تعیینکنندهٔ نوع ریشهها (حقیقی، مکرر یا مختلط) است.