ضرب خارجی با بردار صفر: چرا حاصلضرب هر بردار در بردار صفر، بردار صفر است؟
ضرب خارجی چیست؟ تعریف و ویژگیهای پایه
ضرب خارجی دو بردار در فضای سهبعدی، بردار سومی است که هم بر بردار اول و هم بر بردار دوم عمود است. اگر بردارهای $ \vec{a} $ و $ \vec{b} $ را در نظر بگیریم، ضرب خارجی آنها با نماد $ \vec{a} \times \vec{b} $ نشان داده میشود. اندازه (بزرگی) این بردار از رابطه $ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta $ به دست میآید که در آن $ \theta $ زاویه میان دو بردار است.
جهت بردار حاصل توسط قاعده دست راست تعیین میشود: اگر انگشتان دست راست از $ \vec{a} $ به سمت $ \vec{b} $ بچرخند، شست جهت $ \vec{a} \times \vec{b} $ را نشان میدهد. برخلاف ضرب عددی (نقطهای)، ضرب خارجی جابجاییناپذیر است، یعنی:
و همچنین پخشی (توزیعپذیر) نسبت به جمع بردارهاست:
بردار صفر: تعریف و نقش ویژه در ضرب خارجی
بردار صفر که آن را با $ \vec{0} $ نشان میدهیم، برداری است که اندازه آن صفر بوده و جهت مشخصی ندارد. در دستگاه مختصات دکارتی، مؤلفههای آن همگی صفر هستند: $ \vec{0} = (0,0,0) $. ویژگی مهم بردار صفر این است که برای هر بردار $ \vec{a} $ داریم:
- $ \vec{a} + \vec{0} = \vec{a} $ (عنصر خنثی جمع)
- $ 0 \cdot \vec{a} = \vec{0} $ (ضرب عدد حقیقی در بردار)
در ضرب خارجی، بردار صفر رفتاری مشابه عدد صفر در ضرب اعداد معمولی دارد. یعنی:
برای اثبات این موضوع کافی است از تعریف اندازه ضرب خارجی استفاده کنیم. اگر یکی از بردارها صفر باشد، اندازه آن برابر صفر است. یعنی $ |\vec{0}| = 0 $. بنابراین:
از آنجا که اندازه بردار حاصل صفر است، آن بردار حتماً باید بردار صفر باشد (چون تنها بردار با اندازه صفر، خود بردار صفر است). جهت نیز در این حالت تعریف نمیشود.
مقایسه ضرب خارجی با ضرب عددی و ضرب در اسکالر
| نوع ضرب | نماد | حاصل | شرط صفر شدن |
|---|---|---|---|
| عدد در بردار (اسکالر در بردار) | $ k \vec{a} $ | بردار همراستا با $ \vec{a} $ | $ k=0 $ یا $ \vec{a}=\vec{0} $ |
| ضرب داخلی (نقطهای) | $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ | عدد حقیقی (اسکالر) | عمود بودن دو بردار یا صفر بودن یکی |
| ضرب خارجی (بردار در بردار) | $ \vec{a} \times \vec{b} $ | بردار عمود بر $ \vec{a} $ و $ \vec{b} $ | همراستا بودن یا صفر بودن یکی از بردارها |
کاربرد عملی: چرا باید بدانیم a×0 = 0 ؟
در فیزیک و مهندسی، ضرب خارجی برای محاسبه گشتاور نیرو4، تکانه زاویهای5 و نیروی لورنتس6 به کار میرود. قاعده $ \vec{a} \times \vec{0} = \vec{0} $ در موقعیتهای زیر بسیار مهم است:
- اگر بردار مکان (نقطه اثر نیرو) صفر باشد (یعنی نیرو در مرکز مختصات وارد شود)، گشتاور حاصل از آن نیرو صفر خواهد بود.
- اگر نیروی وارد بر یک ذره صفر باشد، تکانه زاویهای آن ذره تغییر نمیکند.
- در میدان مغناطیسی، اگر سرعت بار الکتریکی صفر باشد، نیروی لورنتس وارد بر آن صفر است.
به عنوان یک مثال عددی در گشتاور: فرض کنید نیروی $ \vec{F} = (5, 0, 0) $ نیوتون در نقطهای با بردار مکان $ \vec{r} = (0, 0, 0) $ (همان مبدأ) وارد شود. گشتاور $ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} $ برابر خواهد بود با $ \vec{0} \times \vec{F} = \vec{0} $. یعنی نیرو هر چقدر هم بزرگ باشد، اگر در مبدأ اعمال شود، هیچ گشتاوری ایجاد نمیکند.
چالشهای مفهومی: پرسش و پاسخ
پرسش ۱: آیا ممکن است $ \vec{a} \times \vec{0} $ برابر یک بردار ناصفر شود؟
پاسخ: خیر، غیرممکن است. چون اندازه این ضرب همواره صفر است و تنها بردار با اندازه صفر، بردار صفر است. هیچ بردار ناصفری اندازه صفر ندارد.
پرسش ۲: اگر $ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} $ باشد، آیا حتماً یکی از دو بردار صفر است؟
پاسخ: نه. ضرب خارجی دو بردار ناصفر نیز میتواند صفر شود اگر دو بردار با یکدیگر همراستا باشند (زاویه $ 0^\circ $ یا $ 180^\circ $ داشته باشند) زیرا $ \sin 0 = 0 $. پس شرط صفر شدن ضرب خارجی، همراستا بودن یا صفر بودن یکی از بردارهاست.
پرسش ۳: آیا ضرب خارجی با بردار صفر خاصیت جابجایی دارد؟
پاسخ: بله، در حالت خاصی که یکی از بردارها صفر است، داریم $ \vec{a} \times \vec{0} = \vec{0} \times \vec{a} = \vec{0} $. اما این به معنی جابجاییپذیری کلی نیست، بلکه تنها در این حالت تساوی برقرار است زیرا هر دو طرف برابر بردار صفر میشوند.
پاورقی
1 ضرب خارجی (Cross Product): عمل دوتایی بین دو بردار در فضای سهبعدی که نتیجه آن بردار عمود بر هر دو بردار اولیه است.
2 بردار صفر (Zero Vector): برداری با اندازه صفر و جهت نامعین که به صورت $ \vec{0} $ نمایش داده میشود و عنصر خنثی جمع بردارهاست.
3 بردار یکه (Unit Vector): برداری با اندازه دقیقاً $ 1 $ که جهت معینی را نشان میدهد و اغلب با کلاهک ($ \hat{u} $) نمایش داده میشود.
4 گشتاور نیرو (Torque): کمیتی برداری برابر ضرب خارجی بردار مکان نقطه اعمال نیرو در بردار نیرو که باعث چرخش اجسام میشود.
5 تکانه زاویهای (Angular Momentum): کمیتی برداری برابر ضرب خارجی بردار مکان در تکانه خطی که میزان چرخش یک جسم را نشان میدهد.
6 نیروی لورنتس (Lorentz Force): نیروی وارد بر بار الکتریکی متحرک در میدان مغناطیسی که از رابطه $ \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) $ محاسبه میشود.