قرینه بردار (بردار منفی) در ریاضی و فیزیک
تعریف بردار و قرینه بردار (بردار منفی)
بردار کمیتی است که هم اندازه (بزرگی) و هم جهت دارد. برای مثال، جابجایی یک جسم از نقطه A به نقطه B را میتوان با بردار \vec{AB} نشان داد. حال اگر جابجایی مخالف یعنی از B به A را در نظر بگیریم، بردار حاصل قرینه بردار قبلی است.
برای درک بهتر، فرض کنید یک خودرو با سرعت $10 \frac{m}{s}$ به سمت شرق حرکت میکند. بردار سرعت آن $\vec{v} = 10 \frac{m}{s}$ (شرق) است. قرینه این بردار $-\vec{v}$ همان بزرگی $10 \frac{m}{s}$ را دارد ولی جهت آن غرب خواهد بود. اگر خودرو ناگهان معکوس حرکت کند، سرعت جدید آن قرینه بردار سرعت اولیه خواهد بود.
مؤلفههای قرینه بردار در صفحه و فضا
در دستگاه مختصات دکارتی، هر بردار را میتوان با مؤلفههایش روی محورهای مختصات نمایش داد. در دو بعد، بردار $\vec{a} = (a_1, a_2)$ دارای مؤلفه $a_1$ در راستای $x$ و $a_2$ در راستای $y$ است. قرینه این بردار برابر است با $-\vec{a} = (-a_1, -a_2)$. به همین ترتیب در سه بعد داریم:
به عبارت ساده، برای ساختن قرینه یک بردار کافی است علامت همه مؤلفههای آن را معکوس کنیم. اگر بردار در صفحه مختصات رسم شده باشد، قرینه آن نسبت به مبدأ مختصات قرینه میشود (یعنی $180$ درجه میچرخد).
| مؤلفهها | بردار $\vec{a}$ | قرینه بردار $-\vec{a}$ |
|---|---|---|
| مؤلفه $x$ | $3$ | $-3$ |
| مؤلفه $y$ | $4$ | $-4$ |
| اندازه (بزرگی) | $\sqrt{3^2+4^2}=5$ | $\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5$ |
کاربرد عملی قرینه بردار در تفریق بردارها و تجزیه نیرو
یکی از مهمترین کاربردهای قرینه بردار، تعریف عمل تفریق برداری است. تفریق دو بردار $\vec{a} - \vec{b}$ برابر است با جمع بردار $\vec{a}$ و قرینه بردار $\vec{b}$ یعنی $\vec{a} + (-\vec{b})$. در فیزیک دبیرستان، هنگامی که میخواهیم حاصل تفاوت دو جابجایی یا دو نیرو را پیدا کنیم، از همین قاعده استفاده میکنیم.
به عنوان مثال، فرض کنید دو نیروی $\vec{F}_1 = (5, 0)$ نیوتن (به راست) و $\vec{F}_2 = (3, 0)$ نیوتن (به راست) به یک جسم وارد میشوند. نیروی خالص برابر $8$ نیوتن به راست است. اما اگر $\vec{F}_1$ به راست و $\vec{F}_2$ به چپ باشد، آنگاه $\vec{F}_2 = (-3, 0)$ و قرینه آن یعنی $-\vec{F}_2 = (3, 0)$ خواهد بود. در عمل تفریق $\vec{F}_1 - \vec{F}_2$ به معنی جمع $\vec{F}_1$ و قرینه $\vec{F}_2$ است. همچنین در تجزیه یک نیروی مایل به دو مؤلفه عمود بر هم، اگر یک مؤلفه در جهت منفی محور باشد، قرینه آن در جهت مثبت همان محور قرار میگیرد.
چالشهای مفهومی در درک قرینه بردار
پرسش ۱: آیا قرینه یک بردار همیشه از مبدأ مختصات عبور میکند؟
پاسخ: خیر. قرینه بردار در مفهوم برداری آزاد، فقط جهت را معکوس میکند و مکان بردار در فضا تغییر نمیکند. اما اگر بردار را به صورت یک پیکان از مبدأ رسم کنیم، قرینه آن نیز از مبدأ شروع میشود و به سمت مخالف رسم میگردد. در واقع بردارهای آزاد، نقطهی شروع ثابتی ندارند، بنابراین قرینه یک بردار آزاد، همان بردار با جهت مخالف است بدون جابجایی مبدأ.
پرسش ۲: آیا بردار صفر قرینهای دارد؟
پاسخ: بله. بردار صفر $\vec{0}$ قرینه خودش است، زیرا $-\vec{0} = \vec{0}$. اندازه بردار صفر صفر است و جهت آن تعریف نشده یا هر جهتی میتواند باشد، بنابراین معکوس کردن جهت تغییری در آن ایجاد نمیکند.
پرسش ۳: آیا قرینه بردار با بردار قرینه شده هم خط است؟
پاسخ: بله. دو بردار $\vec{a}$ و $-\vec{a}$ همواره هم خط (همراستا) هستند، زیرا یکی مضرب اسکالر منفی دیگری است. یعنی $-\vec{a} = (-1) \times \vec{a}$. ضریب $-1$ نشان میدهد که اندازه تغییری نمیکند ولی جهت $180$ درجه میچرخد.
جمعبندی
پاورقی
1 بردار (Vector): کمیتی فیزیکی یا هندسی که دارای اندازه و جهت است، مانند جابجایی، سرعت، شتاب و نیرو.
2 قرینه بردار (Opposite Vector / Negative Vector): برداری که اندازهای برابر با بردار اصلی دارد ولی جهت آن $180$ درجه مخالف است.
3 مؤلفه (Component): نمایش یک بردار روی محورهای مختصات به صورت اعداد اسکالر که معمولاً با $a_1, a_2, a_3$ نشان داده میشوند.
4 بردار صفر (Zero Vector): برداری با اندازه صفر که نقطه شروع و پایان آن بر هم منطبق است و قرینه آن با خودش برابر است.