بردار: پارهخط جهتدار، نماد اندازه و جهت در فیزیک و ریاضیات
۱. تعریف بردار و تفاوت آن با کمیت نردهای
در فیزیک و ریاضیات، برخی کمیتها تنها با یک عدد و یک واحد بیان میشوند. برای نمونه، جِرم یک جسم 5 کیلوگرم یا دمای اتاق 25 درجه سلسیوس. این کمیتها نردهای نام دارند. اما گروه دیگری از کمیتها برای توصیف کامل خود، به اندازه و جهت نیاز دارند. برای نمونه، اگر بگوییم «اتومبیل با سرعت 60 کیلومتر بر ساعت در حال حرکت به سمت شمال است»، هم اندازهٔ سرعت و هم جهت آن مشخص شده است. چنین کمیتی را بردار مینامیم.
در یک تعریف دقیقتر، بردار پارهخطی جهتدار است که دارای سه ویژگی اصلی زیر میباشد:
- اندازه (بزرگی): طول پارهخط که نشاندهنده مقدار عددی کمیت است.
- جهت: راستای پارهخط همراه با سوی حرکت (مثلاً زاویه نسبت به افق یا شمال).
- خط عمل: خط مستقیمی که بردار روی آن قرار دارد (در برخی تعاریف به جای خط عمل از «نقطه اثر» یاد میشود).
۲. نمایش هندسی و جبری بردار
از نظر هندسی، یک بردار را با پیکانی نشان میدهند که نقطهٔ آغاز (دم) و نقطهٔ پایان (نوک) دارد. طول پیکان متناسب با اندازهٔ بردار و جهت پیکان نشاندهندهٔ جهت بردار است.
از نظر جبری، در صفحهٔ مختصات دکارتی، یک بردار را به صورت زوج مرتب $ \vec{v} = (a , b) $ نمایش میدهیم که $a$ و $b$ مؤلفههای بردار در راستای افقی و عمودی هستند. در فضای سهبعدی نیز بردار به صورت $ \vec{v} = (a , b , c) $ نوشته میشود.
اندازهٔ بردار با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس به دست میآید. برای بردار $ \vec{v} = (a , b) $ در صفحه:
و برای بردار $ \vec{v} = (a , b , c) $ در فضا:
به عنوان نمونه، بردار $ \vec{u} = (3 , 4) $ دارای اندازهٔ $ \|\vec{u}\| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $ است.
۳. جدول مقایسهٔ کمیتهای نردهای و برداری در فیزیک دبیرستان
| نوع کمیت | تعریف | مثالها | قوانین جمع |
|---|---|---|---|
| نردهای1 | فقط دارای اندازه | جرم، دما، انرژی، زمان، چگالی | جمع جبری ساده |
| برداری2 | دارای اندازه و جهت | جابجایی، سرعت، شتاب، نیرو، تکانه | جمع برداری (قانون متوازیالاضلاع) |
۴. عملیات اصلی روی بردارها
جمع بردارها به دو روش هندسی انجام میشود:
- قانون مثلث: دم بردار دوم را به نوک بردار اول متصل میکنیم. بردار حاصل از دم اول به نوک دوم، جمع دو بردار است.
- قانون متوازیالاضلاع: دو بردار را از یک نقطه رسم میکنیم. قطر متوازیالاضلاع ساخته شده، بردار جمع است.
اگر دو بردار $ \vec{a} = (a_1 , a_2) $ و $ \vec{b} = (b_1 , b_2) $ باشند، جمع مؤلفهای آنها به صورت زیر است:
تفریق بردارها معادل جمع با بردار منفی است: $ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $. بردار $-\vec{b}$ هم اندازهٔ $\vec{b}$ ولی در جهت مخالف است.
ضرب عدد در بردار (ضرب نردهای3 در بردار): اگر $k$ یک عدد حقیقی باشد، $k\vec{v}$ برداری است به موازات $\vec{v}$ با اندازهٔ $|k| \cdot \|\vec{v}\|$. اگر $k \gt 0$ جهت همان جهت $\vec{v}$ و اگر $k \lt 0$ جهت مخالف است.
۵. کاربرد عملی بردارها در نقشهخوانی و نیروها
فرض کنید یک قایق در حال عبور از رودخانه است. سرعت قایق نسبت به آب $ \vec{v}_b = 4 \ \text{m/s} $ به سمت شرق و سرعت جریان آب $ \vec{v}_r = 3 \ \text{m/s} $ به سمت شمال است. برای یافتن سرعت واقعی قایق نسبت به زمین، باید دو بردار را جمع کنیم:
$ \|\vec{v}_{\text{زمین}}\| = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \ \text{m/s} $
جهت حرکت قایق نسبت به شرق، زاویهای به اندازهٔ $ \theta = \arctan(\frac{3}{4}) \approx 36.9^\circ $ به سمت شمال خواهد بود.
در فیزیک، هنگامی که چند نیرو به یک جسم وارد میشوند، برای یافتن نیروی برآیند4 باید جمع برداری انجام دهیم. برای نمونه، دو نیروی $ \vec{F}_1 = 8 \ \text{N} $ به سمت راست و $ \vec{F}_2 = 6 \ \text{N} $ به سمت بالا، برآیندی به اندازهٔ $ 10 \ \text{N} $ ایجاد میکنند.
۶. چالشهای مفهومی در درک بردارها
پاسخ: خیر. بردارها زمانی برابر هستند که هم اندازه و هم جهت یکسان داشته باشند. دو بردار با اندازه مساوی اما جهت متفاوت، هرچند طول یکسان دارند، ولی برابر نیستند. برای نمونه، بردار $ (3,0) $ (به سمت راست) با بردار $ (-3,0) $ (به سمت چپ) برابر نیست.
پاسخ: زیرا جمع برداری به جهت بردارها نیز بستگی دارد. اگر دو بردار همجهت باشند، اندازهٔ برآیند برابر مجموع اندازههاست. اما اگر در خلاف جهت باشند، اندازهٔ برآیند برابر تفاضل اندازهها خواهد بود. در حالت کلی، با استفاده از قانون کسینوسها اندازهٔ برآیند از رابطهٔ $ R = \sqrt{A^{2}+B^{2}+2AB\cos\theta} $ به دست میآید که $\theta$ زاویهٔ بین دو بردار است.
پاسخ: سرعت همیشه یک کمیت برداری است، زیرا دارای جهت میباشد. اما در گفتار روزمره، هنگامی که جهت حرکت اهمیت نداشته باشد و فقط به «تندی» (magnitude of velocity) اشاره کنیم، به صورت نردهای از آن یاد میشود. در فیزیک، «تندی» نردهای و «سرعت» برداری است.
جمعبندی
پاورقی
1 نردهای (Scalar): کمیتی فیزیکی که تنها با یک عدد (بزرگی) و یک واحد مشخص میشود و جهت ندارد.
2 برداری (Vector): کمیتی فیزیکی که برای توصیف کامل آن به بزرگی و جهت نیاز است.
3 ضرب نردهای در بردار (Scalar multiplication): عمل ضرب یک عدد حقیقی در یک بردار که حاصل آن بردار جدیدی با اندازهٔ ضرب شده و جهتی موازی با بردار اولیه است.
4 نیروی برآیند (Resultant force): حاصل جمع برداری تمام نیروهای وارد بر یک جسم که معادل اثر همهٔ نیروها به صورت همزمان است.
