ضرب ماتریس در ماتریس: از تعریف تا کاربردهای عملی
مرتبهٔ ماتریس و شرط انجام ضرب
هر ماتریس دارای ابعادی به شکل m × n است که m تعداد سطرها و n تعداد ستونها را نشان میدهد. فرض کنید ماتریس A از مرتبهٔ p × m و ماتریس B از مرتبهٔ n × p باشد. برای آنکه بتوان A × B را محاسبه کرد، باید تعداد ستونهای A یعنی m با تعداد سطرهای B یعنی n برابر باشد. در این صورت حاصلضرب، ماتریسی از مرتبهٔ p × p خواهد بود.
به بیان سادهتر، اگر A دارای ابعاد (تعداد سطر) × (تعداد ستون) و B دارای ابعاد (تعداد سطر) × (تعداد ستون) باشد، شرط ضرب به صورت زیر است:
برای نمونه، اگر A از مرتبهٔ 2 × 3 باشد (یعنی 2 سطر و 3 ستون) و B از مرتبهٔ 3 × 4 باشد (یعنی 3 سطر و 4 ستون)، آنگاه تعداد ستونهای A (3) با تعداد سطرهای B (3) برابر است، بنابراین ضرب امکانپذیر بوده و نتیجه ماتریسی از مرتبهٔ 2 × 4 خواهد بود.
| مرتبهٔ ماتریس A | مرتبهٔ ماتریس B | شرط برابری (ستون A = سطر B) | مرتبهٔ حاصلضرب |
|---|---|---|---|
| 2 × 3 | 3 × 4 | 3 = 3 (برقرار) | 2 × 4 |
| 3 × 2 | 3 × 3 | 2 = 3 (برقرار نیست) | تعریف نشده |
| 1 × 5 | 5 × 1 | 5 = 5 (برقرار) | 1 × 1 (یک عدد) |
روش محاسبهٔ هر درایه در ماتریس حاصل
فرض کنید میخواهیم درایهٔ واقع در سطر i و ستون j ماتریس C = A × B را بهدست آوریم. این درایه را با c_{ij} نشان میدهیم. برای محاسبهٔ c_{ij} باید سطر iام ماتریس A را در ستون jام ماتریس B ضرب کنیم. منظور از ضرب یک سطر در یک ستون، جمع حاصلضربهای متناظر است.
در این فرمول، m همان تعداد ستونهای A (یا تعداد سطرهای B) است. a_{ik} نشاندهندهٔ درایهٔ سطر i و ستون k ماتریس A و b_{kj} درایهٔ سطر k و ستون j ماتریس B است.
مثال گامبهگام: فرض کنید A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} و B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}. هر دو ماتریس 2 × 2 هستند، بنابراین ضرب امکانپذیر است و نتیجه نیز 2 × 2 خواهد بود. درایههای ماتریس C را به صورت زیر محاسبه میکنیم:
- c_{11} = (2 \times 4) + (1 \times 6) = 8 + 6 = 14
- c_{12} = (2 \times 5) + (1 \times 7) = 10 + 7 = 17
- c_{21} = (0 \times 4) + (3 \times 6) = 0 + 18 = 18
- c_{22} = (0 \times 5) + (3 \times 7) = 0 + 21 = 21
بنابراین C = \begin{bmatrix} 14 & 17 \\ 18 & 21 \end{bmatrix}.
کاربرد عملی: محاسبهٔ فروش کل در یک فروشگاه
فرض کنید یک فروشگاه 3 نوع کالا دارد. ماتریس A از مرتبهٔ 2 × 3 نشاندهندهٔ تعداد فروش هر کالا در دو روز مختلف است (سطر اول: روز اول، سطر دوم: روز دوم، ستونها: کالاهای اول، دوم و سوم). ماتریس B از مرتبهٔ 3 × 1 نشاندهندهٔ قیمت هر کالا (بر حسب هزار تومان) است. آنگاه حاصلضرب A × B ماتریسی از مرتبهٔ 2 × 1 خواهد بود که درایهٔ اول آن فروش کل روز اول و درایهٔ دوم فروش کل روز دوم را نشان میدهد.
| روز / کالا | کالای اول (تعداد) | کالای دوم (تعداد) | کالای سوم (تعداد) |
|---|---|---|---|
| روز اول | 4 | 3 | 2 |
| روز دوم | 1 | 5 | 0 |
قیمت کالاها: کالای اول 10 هزار تومان، کالای دوم 20 هزار تومان، کالای سوم 15 هزار تومان. ماتریس B = \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 15 \end{bmatrix}. فروش کل روز اول برابر است با (4 \times 10) + (3 \times 20) + (2 \times 15) = 40 + 60 + 30 = 130 هزار تومان و فروش کل روز دوم برابر است با (1 \times 10) + (5 \times 20) + (0 \times 15) = 10 + 100 + 0 = 110 هزار تومان. ماتریس حاصلضرب به صورت C = \begin{bmatrix} 130 \\ 110 \end{bmatrix} خواهد بود.
چالشهای مفهومی
۱. آیا ضرب ماتریسها همیشه جابهجاییپذیر است؟ یعنی آیا همواره A × B = B × A برقرار است؟
خیر، ضرب ماتریسها خاصیت جابهجایی ندارد. حتی اگر هر دو ضرب A × B و B × A قابل تعریف باشند (یعنی ابعاد بهگونهای باشد که هر دو ضرب امکانپذیر باشد)، معمولاً حاصل آنها با هم برابر نیست. در مثال عددی بالا، B × A اصلاً قابل محاسبه نیست زیرا B از مرتبهٔ 2 × 2 و A نیز 2 × 2 است، اما در حالت کلی ضرب ماتریس جابهجایی نیست.
۲. اگر تعداد ستونهای ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر نباشد، چه اتفاقی میافتد؟
در این حالت، ضرب ماتریسها تعریف نشده است و نمیتوان آن را انجام داد. به عبارت دیگر، عمل ضرب تنها زمانی معنا دارد که این شرط (تساوی بعد میانی) رعایت شود. در غیر این صورت میگوییم ماتریسها با یکدیگر قابل ضرب نیستند.
۳. آیا میتوان یک ماتریس را در ماتریس هماندازه (مربعی) ضرب کرد؟
بله، اگر هر دو ماتریس مربعی و از یک مرتبه (مثلاً n × n) باشند، شرط ضرب برقرار است (تعداد ستونهای اولی = n و تعداد سطرهای دومی = n) و حاصلضرب نیز ماتریسی مربعی از همان مرتبه خواهد بود. بسیاری از ماتریسهای مهم مانند ماتریسهای دوران1 در هندسه از این دسته هستند.
جمعبندی
پاورقی
1 ماتریس دوران (Rotation Matrix): ماتریسی که برای چرخاندن بردارها یا نقاط در صفحه یا فضا به کار میرود و همواره مربعی و متعامد است.