بردار: کمیتی با اندازه و جهت که در هندسه و فیزیک برای توصیف جابه‌جایی‌ها و نیروها و… به‌کار می‌رود.

بردارها: از تعریف هندسی تا کاربرد در فیزیک و جابه‌جایی

تعریف بردار و تفاوت آن با کمیت نردهای

در زندگی روزمره با کمیت‌هایی سروکار داریم که فقط با یک عدد و یک واحد بیان می‌شوند؛ مانند جرم (5 کیلوگرم)، دما (30 درجه سلسیوس) یا زمان (10 ثانیه). این کمیت‌ها را نردهای¹ می‌نامند. اما برخی کمیت‌ها برای توصیف کامل نیاز به جهت نیز دارند؛ مانند جابه‌جایی، سرعت، شتاب و نیرو. این کمیت‌ها بردار² نامیده می‌شوند.

برای نمونه، اگر بگوییم «اتومبیل با سرعت 60 کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند»، سرعت را به صورت نردهای بیان کرده‌ایم. اما اگر بگوییم «اتومبیل با سرعت 60 کیلومتر بر ساعت به سمت شمال شرقی در حرکت است»، در این صورت یک بردار (سرعت برداری) را توصیف کرده‌ایم. به همین سادگی، تفاوت اصلی در وجود جهت است.

نمایش هندسی و نمایش تحلیلی بردار

از نظر هندسی، یک بردار را با پیکان نشان می‌دهند. طول پیکان بیانگر اندازه (بزرگی) بردار و جهت پیکان نشان‌دهندهٔ جهت بردار است. در دستگاه مختصات دکارتی، یک بردار را معمولاً به صورت $ \vec{v} = (v_x , v_y) $ در دو بعد یا $ \vec{v} = (v_x , v_y , v_z) $ در سه بعد نمایش می‌دهیم. مؤلفه‌ها ($v_x$ و $v_y$) نشان می‌دهند که بردار به ترتیب در راستای محور $x$ و $y$ چه مقدار جابه‌جایی دارد.

اندازهٔ بردار $ \vec{v} $ را با $ |\vec{v}| $ نشان می‌دهیم و از رابطهٔ فیثاغورس به دست می‌آید:

برای نمونه، بردار $ \vec{d} = (3 , 4) $ متر دارای اندازهٔ $ |\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $ متر است.

جمع و تفریق بردارها به روش هندسی و تحلیلی

یکی از مهم‌ترین عملیات روی بردارها، جمع آنهاست. وقتی دو بردار $ \vec{a} $ و $ \vec{b} $ را داریم، بردار حاصل‌جمع به صورت $ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $ نمایش داده می‌شود. از نظر هندسی دو روش اصلی وجود دارد:

• قانون متوازی‌الاضلاع: دو بردار را از یک نقطه شروع کنید. متوازی‌الاضلاعی بسازید که این دو بردار دو ضلع آن باشند. قطر متوازی‌الاضلاع که از نقطهٔ شروع خارج می‌شود، حاصل‌جمع است.
• قانون مثلث: دم بردار دوم را به نوک بردار اول بچسبانید. بردار حاصل از دم بردار اول به نوک بردار دوم، حاصل‌جمع است.

از نظر تحلیلی (با استفاده از مؤلفه‌ها)، جمع بردارها بسیار ساده است:

تفریق بردارها نیز به صورت $ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $ تعریف می‌شود؛ یعنی بردار $ \vec{b} $ را قرینه کرده (جهت آن را 180 درجه می‌چرخانیم) سپس با $ \vec{a} $ جمع می‌زنیم.

ضرب نردهای (اسکالر) در بردار

وقتی یک عدد حقیقی مانند $ k $ (که به آن نردهای می‌گوییم) را در یک بردار $ \vec{v} $ ضرب کنیم، بردار جدیدی به دست می‌آید که:

• اندازهٔ آن برابر $ |k| \times |\vec{v}| $ است.
• جهت آن اگر $ k \gt 0 $ همان جهت $ \vec{v} $ و اگر $ k \lt 0 $ خلاف جهت $ \vec{v} $ است.

در نمایش مؤلفه‌ای داریم: $ k \cdot (v_x , v_y) = (k v_x , k v_y) $. برای نمونه، اگر $ \vec{v} = (3 , -2) $ و $ k = 2 $ باشد، آنگاه $ 2\vec{v} = (6 , -4) $ که اندازهٔ آن دو برابر و جهت آن همان جهت $ \vec{v} $ است. اگر $ k = -1 $ باشد، بردار قرینه به دست می‌آید.

کاربرد عملی: تجزیه نیرو در سطح شیبدار

یکی از کاربردهای مهم بردارها در فیزیک، تجزیهٔ نیروها در راستاهای عمود بر هم است. فرض کنید جعبه‌ای به جرم $ m $ روی سطح شیبدار با زاویهٔ $ \theta $ نسبت به افق قرار دارد. نیروی وزن $ \vec{W} $ به صورت عمودی به سمت پایین است. برای تحلیل حرکت، این نیرو را به دو مؤلفهٔ موازی سطح و عمود بر سطح تجزیه می‌کنیم:

مؤلفهٔ موازی باعث حرکت جعبه به سمت پایین شیب می‌شود و مؤلفهٔ عمود توسط نیروی عمودی سطح خنثی می‌گردد. این روش تجزیه، حل بسیاری از مسائل استاتیک و دینامیک را ساده می‌کند. بدون درک بردارها، نوشتن معادلات حرکت برای چنین سیستمی بسیار دشوار خواهد بود.

چالش‌های مفهومی

پاورقی

¹ نردهای (Scalar): کمیتی فیزیکی یا ریاضی که تنها با یک عدد (بزرگی) و یک واحد بیان می‌شود و فاقد جهت است.

² بردار (Vector): کمیتی که برای توصیف کامل آن به اندازه (بزرگی)، جهت و همچنین نقطهٔ اعمال (در برخی موارد) نیاز است.