سهمی: تعریف هندسی، ویژگیها و کاربردها
تعریف بنیادین سهمی و عناصر تشکیلدهنده
سهمی1 به عنوان یک مقطع مخروطی2، مجموعه نقاطی از صفحه مانند $P(x,y)$ است که فاصله آنها تا یک نقطه ثابت به نام کانون3 (F) و یک خط ثابت به نام راستراهنما4 (Directrix) با یکدیگر برابر باشند. به بیان ریاضی، اگر $d(P,F)$ فاصله اقلیدسی نقطه $P$ تا کانون و $d(P, \ell)$ فاصله عمودی آن تا خط راستراهنما باشد، تعریف سهمی به صورت زیر است:
نقطه رأس سهمی5، نقطه میانی بین کانون و راستراهنما روی خط عمود بر راستراهنماست. محور تقارن سهمی خطی عمود بر راستراهنما و گذرنده از کانون و رأس است. برای نمونه، سادهترین حالت سهمی را با کانون در نقطه $F(0,p)$ و راستراهنما به معادله $y = -p$ در نظر بگیرید. در این حالت معادله سهمی به شکل $x^2 = 4py$ به دست میآید که در آن $p$ فاصله رأس تا کانون (یا رأس تا راستراهنما) است. اگر $p>0$ سهمی به سمت بالا باز میشود و اگر $p به سمت پایین باز میشود.
استخراج معادله استاندارد سهمی به صورت گامبهگام
برای استخراج معادله، فرض کنید کانون در نقطه $F(0,p)$ و راستراهنما خط افقی $y = -p$ باشد. نقطه دلخواه $P(x,y)$ روی سهمی قرار دارد اگر:
$ \sqrt{(x-0)^2 + (y-p)^2} = |y + p| $
با مجذور کردن دو طرف (توجه: هر دو طرف نامنفی هستند) داریم:
$ x^2 + (y-p)^2 = (y+p)^2 $
بسط میدهیم:
$ x^2 + y^2 - 2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2 $
با ساده کردن $y^2$ و $p^2$ از دو طرف:
$ x^2 - 2py = 2py $
$ x^2 = 4py $
به همین ترتیب، برای سهمی با محور تقارن افقی (کانون روی محور $x$) معادله $y^2 = 4px$ به دست میآید. جدول زیر خلاصهای از چهار حالت استاندارد سهمی با رأس در مبدأ را نشان میدهد:
| جهت بازشدگی | معادله استاندارد | کانون | معادله راستراهنما |
|---|---|---|---|
| بالا | $x^2 = 4py$، $p>0$ | $(0,p)$ | $y = -p$ |
| پایین | $x^2 = 4py$، $p | $(0,p)$ | $y = -p$ |
| راست | $y^2 = 4px$، $p>0$ | $(p,0)$ | $x = -p$ |
| چپ | $y^2 = 4px$، $p | $(p,0)$ | $x = -p$ |
کاربرد عملی: ویژگی بازتابی سهمی در آنتنها و چراغهای خودرو
یکی از مهمترین ویژگیهای سهمی، خاصیت بازتابی آن است. اگر یک منبع نور یا امواج در کانون سهمی قرار گیرد، پرتوهای بازتابشده از سطح سهمی به صورت موازی با محور تقارن خارج میشوند. برعکس، امواج موازی با محور تقارن که به سطح سهمی میتابند، در کانون متمرکز میشوند. این پدیده در طراحی آنتنهای بشقابی (برای جمعآوری امواج ماهواره) و چراغهای جلوی خودرو (برای ایجاد پرتوی موازی نور) کاربرد گسترده دارد.
یک مثال عددی ساده: فرض کنید بخواهیم یک آینه سهمی با معادله $x^2 = 4y$ (یعنی $p=1$) طراحی کنیم. کانون در نقطه $(0,1)$ قرار دارد. اگر یک چشمه نور در کانون قرار دهیم، پرتوهای بازتابیده همگی در راستای عمود (محور $y$) منتشر میشوند. برای نقطه $P(2,1)$ روی سهمی، خط مماس در آن نقطه زاویه خاصی دارد که قانون بازتاب را برقرار میکند و پرتو خروجی موازی محور خواهد بود.
چالشهای مفهومی در درک سهمی
پاسخ: بله. این معادله نشاندهنده سهمی با محور تقارن عمودی است. با کامل کردن مربع میتوان آن را به شکل استاندارد $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ تبدیل کرد که رأس آن در نقطه $(h,k)$ و فاصله کانونی $p = \frac{1}{4a}$ است (در صورت $a \neq 0$). بنابراین همه سهمیهای با محور عمودی به این شکل هستند.
پاسخ: چون راستراهنما یک خط مستقیم است، کوتاهترین فاصله هر نقطه از آن خط، فاصله عمودی (تصویر عمود) است. در فرمول $d(P,\ell)$ برای خط با معادله $Ax+By+C=0$ فاصله برابر $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ است که همان فاصله عمودی را میدهد.
پاسخ: با کاهش $p$ (مثلاً $p \to 0$) کانون به رأس نزدیک میشود و راستراهنما نیز به رأس نزدیک میشود. در این حالت سهمی باریکتر و «تیزتر» میشود. برعکس، با افزایش $p$ سهمی پهنتر و بازتر میشود. برای $p = \frac{1}{4}$ معادله به $x^2 = y$ تبدیل میشود که سهمی مرجعی با فاصله کانونی کم است.
پاورقی
2 مقطع مخروطی (Conic Section): منحنی حاصل از برخورد یک صفحه با یک مخروط دونانه که شامل دایره، بیضی، سهمی و هذلولی است.
3 کانون (Focus): نقطه ثابتی که در تعریف سهمی، بیضی و هذلولی نقش دارد و فاصله نقاط منحنی تا آن با کمیت دیگری مقایسه میشود.
4 راستراهنما (Directrix): خط ثابتی که در تعریف سهمی، فاصله عمودی نقاط منحنی تا آن با فاصله تا کانون برابر است.
5 رأس سهمی (Vertex): نقطه عطف سهمی که روی محور تقارن و دقیقاً وسط بین کانون و راستراهنما قرار دارد.