ارتباط جایگشت و ترکیب: چرا تعداد ترکیبها برابر با P(n,r) تقسیم بر r! است؟
جایگشت: وقتی ترتیب حرف اول را میزند
فرض کنید قرار است از بین ۳ کتاب متفاوت (ریاضی، فیزیک، شیمی) ۲ کتاب را انتخاب کرده و در یک قفسه بچینیم. به چند طریق میتوانیم این کار را انجام دهیم؟ اگر کتابها را با حروف (R, P, C) نشان دهیم، حالتهای ممکن عبارتند از:
RP, RC, PR, PC, CR, CPهمان طور که میبینید، RP (ریاضی اول، فیزیک دوم) با PR (فیزیک اول، ریاضی دوم) دو حالت متفاوت محسوب میشوند، زیرا ترتیب قرارگیری آنها در قفسه متفاوت است. به این نوع شمارش که در آن «ترتیب» اهمیت دارد، جایگشت2 میگوییم. فرمول محاسبه جایگشت r عنصر از n عنصر به این صورت است:
در مثال بالا، n=3 و r=2 است. بنابراین:
که دقیقاً با ۶ حالتی که شمردیم، مطابقت دارد.
ترکیب: وقتی تیم تشکیل میدهیم، ترتیب بیاهمیت است
حال فرض کنید میخواهیم از میان همین ۳ کتاب، ۲ کتاب را برای مطالعه در روز تعطیل انتخاب کنیم. مهم نیست کدام کتاب را اول بخوانیم، فقط مهم این است که کدام دو کتاب را برمیگزینیم. در اینجا مجموعههای انتخابی ما عبارتند از:
{R,P}, {R,C}, {P,C}دیگر جفتهایی مانند {P,R} را نداریم، زیرا با {R,P} یکسان است. به این نوع انتخاب که در آن ترتیب مطرح نیست، ترکیب4 میگوییم. فرمول ترکیب r عنصر از n عنصر به این صورت است:
برای مثال بالا:
که با ۳ حالتی که شمردیم، مطابقت دارد.
ارتباط طلایی: چرا C(n,r) = P(n,r) / r! ؟
حال به ارتباط اصلی میرسیم. اگر به مثالهای بالا دقت کنید، P(3,2)=6 و C(3,2)=3 است. یعنی:
چرا این گونه است؟ دلیل آن به مفهوم «ترتیب» برمیگردد. هرگاه ما r شیء را از n شیء انتخاب میکنیم، در حالت جایگشت، تمام چیدمانهای ممکن آن r شیء را جداگانه شمارش میکنیم. اما میدانیم که r شیء را میتوان به r! طریق مرتب کرد. در ترکیب، ما این r! حالت مختلف را به عنوان یک حالت (یک گروه) در نظر میگیریم. به بیان دیگر:
به عبارت ریاضی:
مثال عملی: انتخاب اعضای کمیته
فرض کنید در یک شرکت با 10 نفر کارمند، میخواهیم یک کمیتهٔ 3 نفره برای نظارت بر پروژهای تشکیل دهیم. ابتدا تصور کنیم که قرار است یک مدیر، یک معاون و یک منشی از بین این 10 نفر انتخاب کنیم (ترتیب مهم است). تعداد حالتها برابر است با:
اما اگر هدف ما صرفاً انتخاب 3 نفر به عنوان اعضای کمیته باشد، بدون تعیین پست جداگانه (ترتیب بیاهمیت)، در این صورت هر بار که 3 نفر مشخص انتخاب میشوند، آنها را میتوان به 3! = 6 طریق در پستهای مدیر، معاون و منشی قرار داد. بنابراین تعداد ترکیبهای 3نفره برابر است با:
این مثال به خوبی نشان میدهد که چگونه با حذف اثر ترتیب (تقسیم بر r!) از حالتهای جایگشتی، به حالتهای ترکیبی میرسیم.
مقایسه جایگشت و ترکیب در یک نگاه
| ویژگی | جایگشت (P(n,r)) | ترکیب (C(n,r)) |
|---|---|---|
| اهمیت ترتیب | مهم است | مهم نیست |
| مفهوم | چیدمان اشیاء در یک ردیف | انتخاب یک زیرمجموعه |
| فرمول | $\frac{n!}{(n-r)!}$ | $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ |
| رابطه | $P(n,r) = C(n,r) \times r!$ | |
| مثال با n=3, r=2 | 6 حالت (RP, RC, PR, PC, CR, CP) | 3 حالت ({R,P}, {R,C}, {P,C}) |
چالشهای مفهومی
✅ پاسخ: ابتدا P(5,2)=5×4=20 را حساب میکنیم. این تعداد حالتهایی است که در آنها دو شیء را با ترتیب مشخص انتخاب کردهایم. از آنجایی که در ترکیب ترتیب مهم نیست و هر جفت 2تایی را میتوان به 2!=2 طریق مرتب کرد، کافی است 20 را بر 2 تقسیم کنیم: 20/2=10. بنابراین C(5,2)=10.
✅ پاسخ: بله، زیرا P(n,r) = C(n,r) \times r! و میدانیم برای r \ge 1، مقدار r! \ge 1 است. در واقع P(n,r) همواره r! برابر C(n,r) است. به جز زمانی که r=0 یا r=1 که در آنها r!=1 و دو مقدار با هم برابرند.
✅ پاسخ: مسابقهٔ اول که جوایز غیرتکراری (دارای ترتیب) هستند، یک مسألهٔ جایگشت است: P(10,3)=720. مسابقهٔ دوم که جوایز یکسان هستند، یک مسألهٔ ترکیب است: C(10,3)=120. بنابراین مسابقهٔ اول (جایگشت) تعداد حالتهای بسیار بیشتری دارد، زیرا ترتیب دریافتکنندگان جوایز اهمیت پیدا میکند.
پاورقی
1شمارش (Counting): شاخهای از ریاضیات که به شمارش تعداد روشهای ممکن برای انجام یک کار یا انتخاب اشیاء از یک مجموعه میپردازد.
2جایگشت (Permutation): به معنی چیدمان اشیاء در یک ترتیب خاص. در جایگشت، ترتیب قرارگیری اشیاء اهمیت دارد.
3فاکتوریل (Factorial): حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n که با نماد n! نمایش داده میشود. به عنوان مثال 3! = 3×2×1 = 6.
4ترکیب (Combination): به معنی انتخاب زیرمجموعهای از اشیاء بدون توجه به ترتیب آنها است.