جایگشت r تایی از n شیء متمایز: انتخاب و چیدن با ترتیب
تعریف و مفهوم جایگشت r تایی
تصور کنید n شیء متمایز داریم. میخواهیم از بین این n شیء، تعدادی مثلاً r تا را انتخاب کنیم و آنها را در کنار هم (مثلاً پشت سر هم روی یک قفسه) بچینیم. حالتی که ترتیب چیدن اشیاء برای ما مهم است. یعنی چیدن اشیاء (الف) و (ب) و (پ) با چیدن (ب) و (پ) و (الف) متفاوت است. به هر یک از این چیدمانهای مرتب، یک «جایگشت r تایی» از n شیء میگوییم. در واقع جایگشت به معنای «چیدن» و ترتیب دادن است. تعداد این حالتها را با نماد $P(n, r)$ یا $nPr$ نشان میدهیم.
فرمول محاسبه جایگشت r تایی
برای محاسبه تعداد جایگشتهای r تایی از n شیء متمایز، میتوانیم از روش شمارش گامبهگام استفاده کنیم. برای انتخاب اولین شیء برای مکان اول، n انتخاب داریم. پس از انتخاب آن، برای مکان دوم، n-1 شیء باقی میماند. به همین ترتیب تا مکان r-ام که n-r+1 انتخاب داریم. پس:
فرمول فاکتوریل:$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$
در اینجا $n!$ (خوانده میشوند n فاکتوریل) به معنای حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n است. دقت کنید که شرط $0 \le r \le n$ برقرار است. اگر $r=0$ باشد، $P(n,0)=1$ در نظر گرفته میشود (یک راه انتخاب هیچ شیء).
تفاوت جایگشت با ترکیب
شاید مهمترین نکته در درک جایگشت، تشخیص آن از «ترکیب»3 است. در ترکیب، برخلاف جایگشت، ترتیب اشیاء اهمیتی ندارد. برای روشن شدن موضوع، جدول زیر را با دقت مطالعه کنید.
| ویژگی | جایگشت (Permutation) | ترکیب (Combination) |
|---|---|---|
| اهمیت ترتیب | مهم است | مهم نیست |
| نماد | $P(n, r)$ یا $nPr$ | $C(n, r)$ یا $\binom{n}{r}$ |
| فرمول | $\frac{n!}{(n-r)!}$ | $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ |
| مثال (انتخاب ۲ حرف از میان A,B,C) | AB, BA, AC, CA, BC, CB (6 حالت) | {A,B}, {A,C}, {B,C} (3 حالت) |
کاربردهای عملی و مثالهای عینی
مفهوم جایگشت در زندگی روزمره و بسیاری از علوم کاربرد دارد. فرض کنید میخواهید بدانید با 5 کتاب مختلف، چند جور میتوان 3 تا از آنها را روی قفسه بچینید؟ پاسخ برابر است با:
مثال دیگر: در یک مسابقه با 8 شرکتکننده، میخواهیم نفرات اول تا سوم را مشخص کنیم. تعداد حالتهای ممکن برای سکو (مقامهای اول، دوم و سوم) برابر است با:
همچنین در رمزنگاری، چیدن حروف برای ساخت رمزهای عبور یا کدهای خاص، نمونهای از کاربرد جایگشت است. اگر رمز عبور یک سیستم 4 رقمی با ارقام 0 تا 9 باشد (بدون تکرار)، تعداد کل رمزها $P(10, 4) = 5040$ است.
چالشهای مفهومی
پاسخ خیر، تعریف اصلی جایگشت r تایی برای اشیاء متمایز است. اگر اشیاء تکراری داشته باشیم، به مبحث «جایگشت با تکرار» وارد میشویم که فرمول متفاوتی دارد.
پاسخ در این حالت، ما همه n شیء را برای چیدن انتخاب میکنیم. تعداد حالات برابر است با $P(n, n) = n!$ که به آن «جایگشت خطی» یا «جایگشت کامل» نیز میگویند.
پاسخ زیرا در جایگشت، هر انتخاب از اشیاء (که در ترکیب یک حالت محسوب میشود) به تعداد $r!$ حالت مختلف (به دلیل ترتیبهای متفاوت) تقسیم میشود. در واقع رابطه $P(n, r) = r! \times C(n, r)$ برقرار است.
نمونه سوالات متنوع با حل گامبهگام
برای تسلط بیشتر، چند مثال دیگر را با جزئیات بررسی میکنیم.
حل: در پرچم، ترتیب نوارهای رنگی مهم است (آبی-سفید-قرمز با سفید-قرمز-آبی متفاوت است). پس تعداد حالات $P(7, 3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$ است.
حل: چون پستها متفاوت هستند، ترتیب انتخاب افراد برای پستها مهم است. پس تعداد حالتها $P(12, 4) = 12 \times 11 \times 10 \times 9 = 11880$ است.
پاورقی
2ترکیبیات (Combinatorics): شاخهای از ریاضیات که به مطالعه روشهای شمارش، ترکیب و جایگشت اشیاء در مجموعههای گسسته میپردازد.
3ترکیب (Combination): به انتخاب تعدادی از اعضای یک مجموعه بدون توجه به ترتیب آنها گفته میشود.
