فاکتوریل: سفری به دنیای حاصلضرب اعداد طبیعی
تعریف و نماد فاکتوریل: از 1 تا n
فاکتوریل یک عدد طبیعی مانند $n$ که با نماد $n!$ نمایش داده میشود، حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از $1$ تا $n$ در یکدیگر است. به عبارت دیگر:
برای مثال، $5!$ (که خوانده میشود "۵ فاکتوریل") برابر است با:
همانطور که مشاهده میکنید، مقدار فاکتوریل با افزایش $n$ بسیار سریع رشد میکند. این عملیات توسط کریستین کرامپ[1] در سال 1808 میلادی معرفی شد و به دلیل کاربردهای فراوان در ریاضیات، به سرعت به یک نماد استاندارد تبدیل گردید.
یکی از مهمترین و در عین حال عجیبترین مقادیر در این تعریف، صفر فاکتوریل ($0!$) است. طبق قرارداد ریاضی، مقدار آن برابر با $1$ تعریف میشود. این تعریف برای سازگاری با فرمولهای ترکیبیات و بسطهای ریاضی ضروری است. برای درک بهتر، به رابطهٔ بازگشتی فاکتوریل توجه کنید: $n! = n \times (n-1)!$. اگر $n=1$ باشد، داریم $1! = 1 \times 0!$، و از آنجایی که $1! = 1$ است، نتیجه میگیریم $0!$ باید برابر با $1$ باشد.
| عدد (n) | محاسبه (n!) | نتیجه |
|---|---|---|
| 0 | قرارداد ریاضی | 1 |
| 1 | $1$ | 1 |
| 2 | $1 \times 2$ | 2 |
| 3 | $1 \times 2 \times 3$ | 6 |
| 4 | $1 \times 2 \times 3 \times 4$ | 24 |
| 5 | $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5$ | 120 |
| 6 | $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6$ | 720 |
کاربرد عملی فاکتوریل در شمارش و احتمال
مهمترین کاربرد فاکتوریل در علم ترکیبیات[2] و محاسبه احتمالات است. اصلیترین جایی که فاکتوریل ظاهر میشود، در محاسبه تعداد حالات ممکن برای چیدمان اشیاء یا انتخاب آنهاست.
مثال اول: تعداد حالتهای چیدن کتاب در قفسه
فرض کنید $3$ کتاب متفاوت داریم و میخواهیم آنها را در یک قفسه کنار هم بچینیم. برای جای اول، $3$ انتخاب داریم. پس از انتخاب کتاب اول، برای جای دوم $2$ کتاب باقی میماند و برای جای آخر فقط $1$ کتاب. بنابراین تعداد کل چیدمانها برابر است با:
این حالت خاص از چیدمان که در آن ترتیب قرار گرفتن اشیاء اهمیت دارد، جایگشت[3] نامیده میشود. در حالت کلی، تعداد جایگشتهای $n$ شیء متمایز برابر $n!$ است.
مثال دوم: تشکیل تیم از بین دانشآموزان
اگر بخواهیم از بین $5$ دانشآموز، یک تیم $3$ نفره بدون در نظر گرفتن ترتیب انتخابشده (فقط انتخاب ساده) تشکیل دهیم، از فرمول ترکیب[4] استفاده میکنیم که در آن فاکتوریل نقش کلیدی دارد:
این یعنی $10$ روش مختلف برای انتخاب یک تیم $3$ نفره از بین $5$ نفر وجود دارد.
مثال روزمره فرض کنید میخواهید رمز عبوری $4$ رقمی با ارقام غیرتکراری از $0$ تا $9$ انتخاب کنید. تعداد این رمزها برابر است با $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ که معادل $\frac{10!}{6!}$ است.
چالشهای مفهومی در درک فاکتوریل
❓ چرا $0!$ برابر $1$ است، در حالی که حاصلضرب هیچ عددی باید صفر باشد؟
این سوال رایجترین چالش ذهنی دانشآموزان است. پاسخ در دو نکته نهفته است: اول، سازگاری با رابطه بازگشتی $n! = n \times (n-1)!$. اگر $n=1$، داریم $1! = 1 \times 0!$ که نتیجه میدهد $0! = 1$. دوم، در ترکیبیات: تعداد راههای چیدن $0$ شیء در یک ردیف فقط یک راه است (ردیف خالی). بنابراین این تعریف با شهود ترکیبیاتی نیز هماهنگ است.
❓ چرا فاکتوریل اعداد منفی تعریف نشده است؟
اگر بخواهیم رابطه بازگشتی $n! = n \times (n-1)!$ را برای اعداد منفی ادامه دهیم، به تناقض میرسیم. برای مثال، اگر بخواهیم $(-1)!$ را محاسبه کنیم، طبق رابطه باید داشته باشیم $0! = 0 \times (-1)!$. از آنجایی که $0! = 1$ است، معادله $1 = 0 \times (-1)!$ به دست میآید که غیرممکن است. بنابراین فاکتوریل فقط برای اعداد صحیح غیرمنفی ( $0, 1, 2, \dots$) تعریف میشود. برای اعداد غیرصحیح، تابع گاما[5] این مفهوم را تعمیم میدهد که در سطح دبیرستان مطرح نمیشود.
❓ تفاوت بین $(n)!$ و $n!$ در اولویت عملیات چیست؟
علامت فاکتوریل بعد از عدد یا پرانتز قرار میگیرد و بالاترین اولویت را در عملیات ریاضی دارد. یعنی $5! + 2$ به معنای $(5!) + 2$ است، نه $5!(+2)$. همچنین $3 \times 4!$ برابر است با $3 \times 24 = 72$، نه $12!$ که عدد بسیار بزرگی است. استفاده از پرانتز برای وضوح بیشتر توصیه میشود: $(3 \times 4)! = 12!$.
پاورقی
1کریستین کرامپ (Christian Kramp) : ریاضیدان فرانسوی که نماد فاکتوریل $!n$ را برای اولین بار در کتاب خود در سال 1808 معرفی کرد.
2ترکیبیات (Combinatorics) : شاخهای از ریاضیات که به مطالعه روشهای شمارش، ترکیب و چیدمان اشیاء در مجموعهها میپردازد.
3جایگشت (Permutation) : هر ترتیب مشخصی از یک مجموعه از اشیاء که در آن ترتیب قرار گرفتن عناصر اهمیت دارد.
4ترکیب (Combination) : یک انتخاب از یک مجموعه از اشیاء که در آن ترتیب انتخاب اهمیت ندارد (برخلاف جایگشت).
5تابع گاما (Gamma Function) : تعمیم مفهوم فاکتوریل به اعداد مختلط (به جز اعداد صحیح منفی). برای اعداد طبیعی، رابطه $\Gamma(n) = (n-1)!$ برقرار است.
