ضریب تغییرات (CV): راهنمای جامع سنجش پراکندگی نسبی دادهها
تعریف و فرمول ضریب تغییرات
ضریب تغییرات که با نماد CV نشان داده میشود، حاصل تقسیم انحراف معیار (σ یا S) بر میانگین (μ یا x̄) است. از آنجا که انحراف معیار پراکندگی مطلق دادهها را نشان میدهد و میانگین نیز مرکزیت دادهها را، حاصل این تقسیم یک نسبت بدون بعد است که پراکندگی را نسبت به میانگین میسنجد. به عبارت سادهتر، CV به ما میگوید که انحراف معیار چند درصد از میانگین است.
فرمول درصدی: $CV\% = \frac{\sigma}{\mu} \times 100$
برای درک بهتر، فرض کنید دو فروشندهٔ میوه داریم. فروشندهٔ اول در پنج روز متوالی به ترتیب 2، 3، 2، 3 و 2 کیلوگرم توت فرنگی فروخته است. فروشندهٔ دوم نیز 200، 300، 200، 300 و 200 کیلوگرم پرتقال فروخته است. انحراف معیار فروش توتفرنگی حدود 0.55 و برای پرتقال حدود 55 است. اگرچه انحراف معیار پرتقال بزرگتر به نظر میرسد، اما میانگین فروش پرتقال (240) نیز بسیار بزرگتر از میانگین فروش توتفرنگی (2.4) است. با محاسبهٔ CV متوجه میشویم هر دو فروشنده تقریباً یک الگوی نوسان یکسان دارند: CV ≈ 0.23 یا 23%.
کاربرد ضریب تغییرات در تحلیل ریسک سرمایهگذاری
در بازارهای مالی، سرمایهگذاران همواره به دنبال گزینهای هستند که بازدهی بیشتر با ریسک کمتر داشته باشد. انحراف معیار بهتنهایی معیار خوبی برای مقایسهٔ ریسک دو سهم نیست، زیرا ممکن است میانگین قیمت آنها بسیار متفاوت باشد. ضریب تغییرات با نسبیسازی ریسک (انحراف معیار) به ازای هر واحد بازدهی (میانگین)، امکان مقایسهٔ عادلانه را فراهم میکند. هرچه CV کمتر باشد، سرمایهگذاری از ثبات و پایداری بیشتری برخوردار است.
فرض کنید دو سهم الف و ب را بررسی میکنیم. سهم الف بازدهی میانگین 15% با انحراف معیار 5% دارد. سهم ب بازدهی میانگین 25% با انحراف معیار 8% دارد. با وجود اینکه انحراف معیار سهم ب بیشتر است، CV سهم الف (0.33) از CV سهم ب (0.32) کمی بیشتر است. بنابراین سهم ب از نظر ریسک نسبی، گزینهٔ بهتری محسوب میشود.
| ویژگی | سهم الف | سهم ب |
|---|---|---|
| میانگین بازدهی (درصد) | 15 | 25 |
| انحراف معیار (درصد) | 5 | 8 |
| ضریب تغییرات | 5/15 = 0.33 | 8/25 = 0.32 |
| وضعیت ریسک نسبی | ریسک بیشتر | ریسک کمتر |
مثال عینی: کنترل کیفیت در خط تولید
در یک کارخانهٔ تولید چیپس، دو خط تولید A و B وجود دارد. مهندسان کیفیت میخواهند بدانند کدام خط تولید، محصولی با وزن یکنواختتر (کمترین نوسان) تولید میکند. از هر خط 50 بسته بهصورت تصادفی نمونهگیری میکنند. وزن میانگین بستههای خط A برابر 150 گرم با انحراف معیار 10 گرم است. برای خط B، میانگین 200 گرم و انحراف معیار 12 گرم بهدست آمده است. با وجود اینکه انحراف معیار خط B بزرگتر است، اما با محاسبهٔ CV مشخص میشود:
- خط A: $CV = \frac{10}{150} \approx 0.067$ یا 6.7%
- خط B: $CV = \frac{12}{200} = 0.06$ یا 6%
ضریب تغییرات کمتر خط B نشان میدهد که این خط تولید، محصولاتی با وزن یکنواختتر و پراکندگی کمتر نسبت به میانگین تولید میکند و در نتیجه از کیفیت پایدارتری برخوردار است.
چالشهای مفهومی در استفاده از ضریب تغییرات
۱. وقتی میانگین دادهها نزدیک به صفر باشد، چه مشکلی پیش میآید؟
اگر میانگین دادهها بسیار کوچک یا نزدیک به صفر باشد (مثلاً میانگین 0.1 و انحراف معیار 0.5)، ضریب تغییرات عدد بسیار بزرگی خواهد شد (5 یا 500%) که تفسیر عملی خود را از دست میدهد. همچنین اگر میانگین صفر باشد، ضریب تغییرات تعریفنشده است، زیرا تقسیم بر صفر انجام میشود.
۲. آیا میتوان دو متغیر با واحدهای کاملاً متفاوت را با CV مقایسه کرد؟
بله، یکی از مهمترین مزایای CV بیواحد بودن آن است. برای مثال میتوان پراکندگی قد انسانها (برحسب سانتیمتر) را با پراکندگی وزن آنها (برحسب کیلوگرم) مقایسه کرد. اگر CV قد 5% و CV وزن 15% باشد، نتیجه میگیریم که وزن انسانها نسبت به میانگین خود، نوسان بیشتری نسبت به قد دارد.
۳. تفاوت ضریب تغییرات برای دادههای فاصلهای و نسبی چیست؟
ضریب تغییرات فقط برای دادههای با مقیاس نسبی (نسبتی) معنا دارد؛ یعنی دادههایی که صفر مطلق دارند (مانند وزن، دما برحسب کلوین، قیمت). برای دادههای فاصلهای مثل دمای سلسیوس که صفر آن قراردادی است، محاسبهٔ CV میتواند گمراهکننده باشد، زیرا با تغییر مقیاس (مثلاً تبدیل به فارنهایت) مقدار CV تغییر میکند.
کاربردهای عملی فراتر از آمار توصیفی
ضریب تغییرات تنها به مقایسهٔ دو مجموعه داده محدود نمیشود. در علوم زیستی، از CV برای سنجش تکرارپذیری آزمایشها استفاده میکنند. هرچه CV یک روش آزمایشگاهی کمتر باشد، دقت و تکرارپذیری آن بالاتر است. در هواشناسی، از این معیار برای مقایسهٔ تغییرپذیری بارندگی در مناطق مختلف با میانگین بارش متفاوت بهره میگیرند. همچنین در ورزش، مربیان از ضریب تغییرات برای ارزیابی ثبات عملکرد ورزشکاران در طول فصل استفاده میکنند؛ برای مثال، نوسان زمان ثبتشدهٔ یک شناگر در ۱۰۰ متر کرال سینه.
پاورقی
1 ضریب تغییرات (Coefficient of Variation): معیاری آماری برای سنجش پراکندگی نسبی که از نسبت انحراف معیار به میانگین بهدست میآید.2 انحراف معیار (Standard Deviation): معیاری برای نمایش میزان پراکندگی یا دوری مقادیر از میانگین.
3 میانگین (Mean): حاصل جمع تمام دادهها تقسیم بر تعداد آنها.
4 دادههای نسبی (Ratio Data): دادههایی که دارای صفر مطلق هستند و نسبت بین آنها معنا دارد (مانند قد، وزن).
5 دادههای فاصلهای (Interval Data): دادههایی که صفر آنها قراردادی است و نسبت بین مقادیر معنا ندارد (مانند دما برحسب سلسیوس).
