بی‌مد و دو مد: حالتی که هیچ داده‌ای بیشترین فراوانی نداشته باشد و همه فراوانی برابر داشته باشند و حالتی که دو داده بیشترین فراوانی را داشته باشند.

در آمار، مد (Mod) مقداری است که بیشترین تکرار را در یک مجموعه داده دارد. برای مثال، اگر نمرات یک امتحان به صورت {15, 17, 17, 18, 19} باشد، مد برابر 17 است. اما همیشه داده‌ها به این سادگی نیستند. گاهی با توزیع‌هایی مواجه می‌شویم که مد مشخصی ندارند یا بیش از یک مد دارند. اینجاست که مفاهیم بی‌مد و دو مد مطرح می‌شوند.

به طور کلی، توزیع فراوانی داده‌ها می‌تواند اشکال مختلفی داشته باشد. یک توزیع می‌تواند تک‌مدی (یک قله)، دو مدی (دو قله)، یا یکنواخت (بدون قله مشخص) باشد. درک این مفاهیم به ما کمک می‌کند تا بینش عمیق‌تری نسبت به داده‌ها و الگوهای پنهان در آن‌ها پیدا کنیم.

فراوانی یک داده به معنای تعداد دفعات تکرار آن در مجموعه است. در حالت بی‌مد، همه داده‌ها دارای فراوانی 1 هستند (در داده‌های بدون تکرار) یا همه مقادیر دارای یک فراوانی ثابت و مساوی هستند. در حالت دو مد، دو داده وجود دارند که فراوانی آن‌ها از بقیه بیشتر و با یکدیگر برابر است.

به حالتی بی‌مد (No Mode) گفته می‌شود که هیچ مقداری در مجموعه داده‌ها بیشترین فراوانی را نداشته باشد. این حالت معمولاً در دو شرایط رخ می‌دهد:

• همه مقادیر داده‌ها متفاوت هستند (هیچ تکراری وجود ندارد). برای مثال، قد دانش‌آموزان یک کلاس که همه با یکدیگر متفاوت است.
• همه مقادیر دارای فراوانی یکسانی هستند. مانند نتیجه پرتاب یک تاس سالم که در آن احتمال آمدن هر عدد 1/6 است و اگر تاس را تعداد زیادی بار پرتاب کنیم، فراوانی هر عدد تقریباً با هم برابر خواهد بود.

مثال علمی: فرض کنید در یک مطالعه‌ی کوچک، تعداد فرزندان 5 خانواده به صورت {1, 2, 3, 4, 5} ثبت شده است. در این مجموعه، هر عدد دقیقاً یک بار تکرار شده است. بنابراین هیچ مقداری فراوانی بیشتری از دیگری ندارد و مجموعه داده ما بی‌مد است.

حالت دو مد (Bimodal) زمانی رخ می‌دهد که دقیقاً دو مقدار مختلف در مجموعه داده‌ها وجود داشته باشند که هر دو بیشترین فراوانی را داشته باشند و این فراوانی با یکدیگر برابر است. این بدان معناست که توزیع داده‌ها دارای دو قله است.

مثال علمی: فرض کنید نمرات یک آزمون ساده‌ی بیست‌نمره‌ای به صورت زیر است: {10, 12, 12, 15, 15, 15, 18, 18, 18, 20}. در این مجموعه، نمرات 15 و 18 هر کدام 3 بار تکرار شده‌اند که از بقیه نمرات (با فراوانی 1 و 2) بیشتر است. بنابراین مد این مجموعه دو مقدار 15 و 18 است و ما با یک توزیع دو مدی روبرو هستیم. این نشان می‌دهد که دانش‌آموزان به دو گروه عمده تقسیم شده‌اند: گروهی نمرات خوب (حدود 18) و گروهی نمرات متوسط (حدود 15) گرفته‌اند.

برای مجموعه داده‌ای مانند X = {x_1, x_2, ..., x_n}، اگر تابع فراوانی f(x) را تعریف کنیم، شرایط به صورت زیر قابل نمایش است:

• شرط بی‌مد: برای هر جفت از مقادیر x_i و x_j داریم $f(x_i) = f(x_j)$. یعنی همه فراوانی‌ها با هم برابرند.
• شرط دو مد: دو مقدار منحصربه‌فرد مانند m_1 و m_2 وجود دارند که:
  $f(m_1) = f(m_2) \gt f(x_k)$ برای همه $x_k \neq m_1, m_2$.

یک فروشگاه اینترنتی تعداد محصولات خریداری‌شده توسط مشتریان در یک روز خاص را ثبت کرده است: {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4}. با نگاه به داده‌ها می‌بینیم که تعداد مشتریانی که 2 محصول و 3 محصول خریده‌اند با هم و بیشتر از بقیه است. این یک توزیع دو مدی است. مدیر فروشگاه می‌تواند نتیجه بگیرد که مشتریان به دو دسته‌ی کلی تقسیم می‌شوند: آن‌هایی که خرید متوسط (2 عدد) و آن‌هایی که خرید نسبتاً بالا (3 عدد) دارند و می‌تواند برای هر دسته استراتژی‌های تشویقی متفاوتی طراحی کند. در نقطه مقابل، اگر داده‌های خرید به صورت {1, 2, 3, 4, 5} بود، توزیع بی‌مد بود و هیچ الگوی خرید خاصی دیده نمی‌شد.

۱. اگر در یک مجموعه داده یک مقدار بیشترین فراوانی را داشته باشد و یک مقدار دیگر نیز دقیقاً همان فراوانی را داشته باشد، اما مقدار سومی هم با همان فراوانی وجود داشته باشد، باز هم داده دو مد محسوب می‌شود؟

خیر. اگر سه مقدار یا بیشتر بیشترین فراوانی مشترک را داشته باشند، داده چند مدی محسوب می‌شود. حالت دو مد به حالتی گفته می‌شود که دقیقاً دو مقدار بیشترین فراوانی را دارند.

۲. آیا می‌توان یک مجموعه داده را هم بی‌مد و هم دو مد در نظر گرفت؟

خیر، این دو حالت متناقض هستند. در بی‌مد هیچ مدی وجود ندارد، در حالی که در دو مد دقیقاً دو مد وجود دارد. یک مجموعه داده تنها یکی از این حالات را می‌تواند داشته باشد.

۳. چه تفاوتی بین داده‌های «بی‌مد» و داده‌های «یکنواخت» وجود دارد؟

داده‌های یکنواخت نوعی از داده‌های بی‌مد هستند. در یک توزیع یکنواخت گسسته، همه مقادیر دارای فراوانی یکسان‌اند (پس بی‌مد است). اما داده‌های بی‌مد می‌توانند حالتی باشند که همه مقادیر فقط یک بار تکرار شده‌اند (داده‌های یکتا) که آن هم یک توزیع یکنواخت خاص با فراوانی 1 برای همه مقادیر است.

در این مقاله با دو حالت خاص از شاخص مد آشنا شدیم. بی‌مد نشان‌دهنده‌ی نبود هیچ مقدار پرتکرار در داده‌ها است که اغلب در داده‌های یکتا یا توزیع‌های کاملاً یکنواخت دیده می‌شود. در مقابل، دو مد نشان از وجود دو نقطه‌ی اوج در توزیع داده‌ها دارد که می‌تواند بیانگر وجود دو گروه یا الگوی متفاوت در جامعه‌ی مورد بررسی باشد. تشخیص این مفاهیم به ما در تحلیل دقیق‌تر داده‌ها و نتیجه‌گیری صحیح‌تر کمک شایانی می‌کند.

¹ مد (Mode): مقداری از داده‌ها که بیشترین فراوانی را دارد.

² بی‌مد (No Mode): وضعیتی در توزیع داده‌ها که هیچ مقداری بیشترین فراوانی را ندارد.

³ دو مد (Bimodal): وضعیتی در توزیع داده‌ها که دقیقاً دو مقدار، بیشترین فراوانی مشترک را دارند.

⁴ توزیع یکنواخت (Uniform Distribution): توزیعی که در آن همه مقادیر دارای فراوانی (یا احتمال) یکسان هستند.