تابع وارون هذلولی: سفری به دنیای تابع f(x)=1/x و فراسوی آن
از تابع f(x)=1/x تا توابع وارون هذلولی: ریشهها و تعاریف
شاید برایتان جالب باشد که بدانید ارتباط نزدیکی بین تابع ساده f(x)=1/x و توابع وارون هذلولی وجود دارد. این ارتباط از طریق مفهوم مساحت شکل میگیرد. توابع هذلولی (مانند سینوس هذلولی[1] و کسینوس هذلولی[1]) با مساحتهای محدود شده توسط هذلولی متحدالاضلاعی به معادله x2 - y2 = 1 تعریف میشوند. اما جالب اینجاست که اگر هذلولی دیگری به شکل xy = 1 (که همان f(x)=1/x است) را در نظر بگیریم، مساحت محدود شده توسط این منحنی، خط مبدأ و یک خط شعاعی، مستقیماً به توابع وارون هذلولی مرتبط میشود . به همین دلیل است که در نامگذاری این توابع از پیشوند «آر»[2] استفاده میکنند که برگرفته از کلمه Area به معنای مساحت است، بر خلاف توابع وارون مثلثاتی که پیشوند «آرک»[3] (به معنای کمان) را دارند .
بنابراین، وقتی صحبت از وارون توابع هذلولی میشود، در حقیقت به دنبال یافتن زاویهای (یا بهتر بگوییم مساحتی) هستیم که تابع هذلولی متناظر آن مقدار را تولید کند. برای مثال، اگر sinh(a) = x، آنگاه a برابر با arsinh(x) خواهد بود. این توابع در ریاضیات با نمادهای گوناگونی نشان داده میشوند :
- سینوس وارون هذلولی:arsinh x یا sinh-1 x یا arcsinh x.
- کسینوس وارون هذلولی:arcosh x یا cosh-1 x.
- تانژانت وارون هذلولی:artanh x یا tanh-1 x.
پل ارتباطی با لگاریتم: تعریف اصلی و دامنه توابع
از آنجایی که توابع هذلولی بر پایه توابع نمایی ex و e-x ساخته شدهاند، وارون آنها را نیز میتوان بر حسب تابع لگاریتم طبیعی بیان کرد. این تعریف لگاریتمی، کلید اصلی برای محاسبه مقادیر این توابع و درک دامنه و برد آنهاست . جدول زیر خلاصهای از این تعاریف و دامنهها را نشان میدهد:
| نام تابع | نماد ریاضی | تعریف بر حسب لگاریتم طبیعی | دامنه (x) |
|---|---|---|---|
| سینوس وارون هذلولی | arsinh x | $ \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right) $ | ( -\infty , +\infty ) (همه اعداد حقیقی) |
| کسینوس وارون هذلولی | arcosh x | $ \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right) $ | [1 , +\infty ) |
| تانژانت وارون هذلولی | artanh x | $ \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) $ | (-1 , 1) |
| کتانژانت وارون هذلولی | arcoth x | $ \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right) $ | ( -\infty , -1) \cup (1 , +\infty ) |
به دامنه توابع دقت کنید. برای مثال، arcosh x فقط برای اعداد بزرگتر یا مساوی 1 تعریف شده است، زیرا عبارت زیر رادیکال، یعنی $x^2-1$، باید غیرمنفی باشد. این موضوع با دامنه تابع cosh که برای یافتن واروناش دامنه را به [0, +\infty) محدود میکنیم، هماهنگی کامل دارد .
کاربرد عملی: حل معادله و محاسبه مقدار تابع
فرض کنید در یک مسئله فیزیک یا ریاضی به معادلهای برسید که شامل توابع هذلولی است و بخواهید متغیر را پیدا کنید. اینجا دقیقاً همان جایی است که توابع وارون هذلولی وارد عمل میشوند. بیایید با یک مثال ساده این کاربرد را بررسی کنیم.
مسئله: معادله $ 3 \sinh(2x) = 4 $ را برای x حل کنید.
حل گام به گام:
- ایزوله کردن تابع هذلولی: ابتدا معادله را به شکل $\sinh(2x) = \frac{4}{3}$ مینویسیم.
- اعمال وارون: از تابع وارون سینوس هذلولی (arsinh) در دو طرف معادله استفاده میکنیم: $ \operatorname{arsinh}(\sinh(2x)) = \operatorname{arsinh}\left(\frac{4}{3}\right) $
- سادهسازی: با توجه به خاصیت وارونی، داریم $ \operatorname{arsinh}(\sinh(2x)) = 2x $. پس معادله به $2x = \operatorname{arsinh}\left(\frac{4}{3}\right)$ تبدیل میشود.
- محاسبه مقدار عددی: برای محاسبه $\operatorname{arsinh}(\frac{4}{3})$ از تعریف لگاریتمی آن استفاده میکنیم: $ \operatorname{arsinh}\left(\frac{4}{3}\right) = \ln\left( \frac{4}{3} + \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 1} \right) = \ln\left( \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{16}{9} + 1} \right) $ $ = \ln\left( \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{25}{9}} \right) = \ln\left( \frac{4}{3} + \frac{5}{3} \right) = \ln\left( \frac{9}{3} \right) = \ln(3) $
- یافتن x: حالا داریم $2x = \ln(3)$، بنابراین $ x = \frac{\ln(3)}{2} $.
همانطور که دیدید، با کمک تعریف لگاریتمی توانستیم مقدار دقیق arsinh را بر حسب لگاریتم طبیعی پیدا کنیم و معادله را حل نماییم. این تکنیک در انتگرالگیری نیز بسیار پرکاربرد است، جایی که انتگرال برخی توابع کسری مستقیماً به توابع وارون هذلولی منجر میشود .
چالشهای مفهومی و رفع ابهام
پاسخ: این تفاوت به دامنه و یکنوایی توابع اصلی برمیگردد. تابع sinh x در کل دامنه خود (همه اعداد حقیقی) اکیداً یکنوا (صعودی) است، بنابراین برای هر مقدار خروجی، یک ورودی منحصربهفرد دارد و وارون آن برای همه اعداد حقیقی تعریف میشود. اما تابع cosh x یکنوا نیست (مثلاً cosh(2) = cosh(-2)). برای اینکه وارون داشته باشیم، باید دامنه آن را به بازهای که در آن یکنواست، یعنی [0, +\infty) محدود کنیم. در این بازه، خروجی cosh اعداد بزرگتر یا مساوی 1 خواهد بود، بنابراین دامنه وارون آن یعنی arcosh نیز [1, +\infty) میشود .
پاسخ: این دو تابع وارون، علیرغم شباهت ظاهری، تفاوت اساسی در دامنه دارند. artanh x برای $|x| تعریف میشود، در حالی که arcoth x برای $|x| > 1$ تعریف میشود. برای مثال، artanh(0.5) معتبر است اما artanh(2) معنی ندارد. برعکس، arcoth(2) معتبر است اما arcoth(0.5) تعریف نشده است . علت این تفاوت به دامنه و برد توابع اصلی tanh و coth بازمیگردد.
پاسخ: مشتق این توابع فرمولهای ساده و مفیدی دارند که در حسابان کاربرد فراوانی دارد، بهویژه در انتگرالگیری. برای نمونه، مشتق arsinh x برابر $ \frac{d}{dx} \operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ است . این فرمول به ما میگوید که انتگرال $ \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx $ برابر $ \operatorname{arsinh} x + C $ است. به همین ترتیب، مشتق artanh x برابر $ \frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2} $ است که رابطه نزدیکی با انتگرالهای توابع گویا دارد.
پاورقیها
[1]سینوس هذلولی (Hyperbolic Sine): تابعی است به شکل $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. کسینوس هذلولی (Hyperbolic Cosine): تابعی است به شکل $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
[2]پیشوند «آر» (ar-): مخفف کلمه Area به معنای مساحت است. این نامگذاری به این دلیل است که مقدار این توابع، مساحت یک بخش از هذلولی را نشان میدهد، نه طول کمان را .
[3]پیشوند «آرک» (arc-): مخفف کلمه Arc به معنای کمان است. در توابع وارون مثلثاتی (مانند arcsin) استفاده میشود، زیرا خروجی آنها برابر با طول کمانی از دایره واحد است .