نمودار پیکانی: زبان بصری توابع
تعریف تابع و نقشه پیکانی
در ریاضیات، تابع قانونی است که به هر عنصر از یک مجموعه (به نام دامنه)، دقیقاً یک عنصر از مجموعهای دیگر (به نام همدامنه) را نسبت میدهد. نمودار پیکانی، این قانون انتساب را به صورت تصویری نشان میدهد. برای رسم آن، دو مجموعه را به صورت دو بیضی یا دایره در کنار هم رسم میکنیم. اعضای مجموعه سمت چپ (دامنه) و اعضای مجموعه سمت راست (همدامنه) را به صورت نقطه یا برچسب داخل آنها مینویسیم. سپس برای هر عضو دامنه، یک پیکان از آن عضو به سمت عضو متناظر در همدامنه رسم میکنیم. مجموعهی اعضایی از همدامنه که به آنها پیکانی وارد شده باشد، برد تابع نامیده میشود.
- به هر عضو دامنه، یک پیکان متصل باشد (همهی اعضای دامنه باید استفاده شوند).
- از هر عضو دامنه، تنها یک پیکان خارج شود (هیچ عضوی نمیتواند به دو عضو همدامنه وصل شود).
تحلیل اجزای تابع با نمودار پیکانی
نمودار پیکانی به خوبی اجزای اصلی یک تابع را مشخص میکند. بیایید با یک مثال ساده این اجزا را بررسی کنیم. فرض کنید دامنهی تابع، مجموعهی دانشآموزان یک کلاس و همدامنه، مجموعهی صندلیهای آن کلاس باشد. اگر تابع، هر دانشآموز را به صندلیای که روی آن نشسته است متصل کند، آنگاه:
- دامنه: مجموعهی همهی دانشآموزان (هر دانشآموز دقیقاً یک پیکان از خودش خارج میکند).
- همدامنه: مجموعهی همهی صندلیهای کلاس (حتی آنهایی که کسی روی آنها ننشسته است).
- برد: مجموعهی صندلیهایی که حداقل یک دانشآموز روی آنها نشسته است (صندلیهایی که به آنها پیکانی وارد شده است).
اگر صندلی خالیای وجود داشته باشد، آن عضو از همدامنه، در برد تابع قرار نخواهد گرفت. این مثال نشان میدهد که چگونه پیکانها، اعضای دامنه را به برد متصل کرده و مرز بین همدامنه و برد را مشخص میکنند.
مثالهای عینی از نمودار پیکانی در زندگی روزمره
کاربرد نمودار پیکانی فقط به کتابهای ریاضی محدود نمیشود. در زندگی روزمره نیز با نمونههای زیادی از آن برخورد میکنیم. برای مثال:
- منوی رستوران: اگر دامنه را لیست غذاها و همدامنه را قیمتها در نظر بگیریم، منوی رستوران یک تابع است که با پیکان، هر غذا را به قیمتش متصل میکند. واضح است که یک غذا نمیتواند دو قیمت متفاوت داشته باشد (شرط تابعیت).
- کد پستی: هر ساختمان در یک شهر (عضو دامنه)، یک کد پستی منحصربهفرد (عضو همدامنه) دارد. اگر از هر ساختمان به کد پستیاش پیکان بکشیم، یک نمودار پیکانی خواهیم داشت.
- شماره دانشجویی: به هر دانشجو (دامنه) یک شماره دانشجویی (همدامنه) تعلق میگیرد. این شماره برای هر دانشجو یکتا است و به دو دانشجو یک شماره تعلق نمیگیرد.
شناسایی انواع توابع با نمودار پیکانی
نمودار پیکانی ابزاری عالی برای تشخیص نوع تابع است. با نگاه به نحوهی رسم پیکانها میتوانیم بفهمیم یک تابع یکبهیک است یا پوشا. در جدول زیر این ویژگیها را مقایسه کردهایم:
| نوع تابع | شرط در نمودار پیکانی | مثال (اعداد داخل $ \{\}$) |
|---|---|---|
| یکبهیک (تزریقی) | هر عضو همدامنه، حداکثر یک پیکان به سمت خود دارد (هیچ دو عضوی از دامنه به یک عضو مشترک وصل نمیشوند). | $ f(1)=a , f(2)=b , f(3)=c $ |
| پوشا (پرجکشن) | به تمام اعضای همدامنه حداقل یک پیکان وارد شده باشد (برد با همدامنه برابر است). | $ f(1)=a , f(2)=b , f(3)=b $ (اگر همدامنه $\{a,b\}$ باشد) |
| دوسویی (یکبهیک و پوشا) | شرط هر دو نوع بالا همزمان برقرار است: به هر عضو همدامنه دقیقاً یک پیکان وارد شود. | $ f(1)=a , f(2)=b , f(3)=c $ (اگر همدامنه $\{a,b,c\}$ باشد) |
تمرین عملی: رسم و تفسیر یک نمودار پیکانی
فرض کنید تابع $f$ با دامنه $A = \{ ۱, ۲, ۳, ۴ \}$ و همدامنه $B = \{ a, b, c, d \}$ به صورت زیر تعریف شده است:
$ f(۱) = a $، $ f(۲) = b $، $ f(۳) = b $، $ f(۴) = d $
با رسم یک نمودار پیکانی میتوانیم به سوالات زیر پاسخ دهیم:
- برد تابع چیست؟ اعضایی از $B$ که به آنها پیکان وارد شده است: $\{ a, b, d \}$.
- آیا تابع یکبهیک است؟ خیر، زیرا دو عضو متمایز از دامنه (۲ و ۳) به یک عضو مشترک در همدامنه ($b$) وصل شدهاند.
- آیا تابع پوشا است؟ خیر، زیرا عضو $c$ در همدامنه هیچ پیکانی دریافت نکرده است.
این تمرین ساده نشان میدهد که چگونه با یک نگاه به پیکانها میتوان ویژگیهای اصلی تابع را استخراج کرد.
چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا میتوانیم رابطهای را رسم کنیم که از یک عضو دامنه دو پیکان خارج شود، اما باز هم آن را تابع بنامیم؟
پاسخ: خیر، مطلقاً. شرط اساسی تابع این است که به هر ورودی (عضو دامنه)، فقط و فقط یک خروجی نسبت داده شود. اگر دو پیکان از یک عضو خارج شود، یعنی آن عضو به دو خروجی مختلف متصل است و این با تعریف تابع در تضاد است.
❓ چالش ۲: در یک نمودار پیکانی، اگر عضوی از همدامنه هیچ پیکانی به سمتش نیامده باشد، آیا باز هم میتوانیم آن عضو را جزئی از برد تابع بدانیم؟
پاسخ: خیر. برد تابع مجموعهی اعضایی از همدامنه است که حداقل یک پیکان به آنها وارد شده باشد. اعضای بدون پیکان در همدامنه باقی میمانند ولی جزئی از برد محسوب نمیشوند.
❓ چالش ۳: اگر در یک نمودار پیکانی، اندازهی دامنه و همدامنه برابر باشند، آیا حتماً تابع یکبهیک و پوشا خواهد بود؟
پاسخ: لزوماً خیر. تساوی اندازهی دو مجموعه شرط لازم برای دوسویی بودن است، ولی کافی نیست. برای مثال، تابع $f(۱)=a, f(۲)=a, f(۳)=b$ با دامنهی سهعضوی $\{۱,۲,۳\}$ و همدامنهی سهعضوی $\{a,b,c\}$ را در نظر بگیرید. اندازهها برابرند، اما تابع نه یکبهیک است (چون ۱ و ۲ به $a$ وصل شدهاند) و نه پوشا (چون به $c$ پیکانی وارد نشده است).
پاورقی
1دامنه (Domain): مجموعهی همهی مقادیر ورودی مجاز برای یک تابع.
2برد (Range): مجموعهی همهی مقادیر خروجیای که یک تابع میتواند تولید کند.
3یکبهیک (Injective): تابعی که در آن، اعضای متمایز دامنه به اعضای متمایز برد نگاشته میشوند.
4پوشا (Surjective): تابعی که در آن، برد با همدامنه برابر است.
5رابطه (Relation): هر زیرمجموعه از حاصلضرب دو مجموعه که ارتباطی بین اعضای آنها برقرار کند.
