برد تابع: کاوش در قلمرو خروجیهای ممکن
۱. برد چیست؟ تعریف و مفاهیم پایهای
در ریاضیات، هر تابع مانند یک ماشین عمل میکند. به این ماشین یک ورودی میدهیم و آن بر اساس یک قانون مشخص، یک خروجی تولید میکند. مجموعه تمام ورودیهایی که به تابع میدهیم، دامنه(Domain) نامیده میشود. در مقابل، مجموعه تمام خروجیهایی که این ماشین میتواند تولید کند، برد تابع است. به بیان سادهتر، اگر تابع را با $f$ نشان دهیم، برد آن عبارت است از:
برای درک بهتر، یک مثال ساده از زندگی روزمره میزنیم. دستگاهی داریم که به ازای هر عدد صحیح مثبت که وارد آن میکنیم، دو برابر آن عدد را نشان میدهد. اگر اعداد $1, 2, 3$ را به دستگاه بدهیم، خروجیهای $2, 4, 6$ را دریافت میکنیم. در اینجا دامنه ما مجموعه $\{1,2,3\}$ و برد ما مجموعه $\{2,4,6\}$ است. اما اگر دامنه را به همه اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ گسترش دهیم، برد نیز همه اعداد حقیقی زوج نخواهد بود، بلکه تمام اعداد حقیقی (چون هر عدد حقیقی مانند $y$ را میتوان به صورت $y=2x$ نوشت که $x = y/2$ خود یک عدد حقیقی است) را شامل میشود.
نکته مهم این است که برد همیشه زیرمجموعهای از مجموعه اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ است، اما میتواند به صورت یک بازه، یک مجموعه از چند عدد گسسته، یا ترکیبی از آنها ظاهر شود.
۲. روشهای یافتن برد توابع مختلف
روش یافتن برد به نوع تابع بستگی دارد. در این بخش، با روشهای محاسبه برد برای انواع مهم توابع که در دبیرستان با آنها مواجه میشوید، آشنا میگردیم.
توابع خطی
یک تابع خطی به شکل $f(x) = ax + b$ (که در آن $a \neq 0$) است. اگر دامنه تابع مجموعه تمام اعداد حقیقی باشد، برد آن نیز تمام اعداد حقیقی خواهد بود. چرا؟ چون به ازای هر عدد حقیقی $y$ که به عنوان خروجی در نظر بگیریم، میتوانیم $x = \frac{y-b}{a}$ را محاسبه کنیم که یک عدد حقیقی است و در دامنه تابع قرار دارد. بنابراین، $ \text{برد} = \mathbb{R} $ است.
| نوع تابع | فرم کلی | برد (با دامنه $\mathbb{R}$) |
|---|---|---|
| خطی | $f(x)=ax+b, a \neq 0$ | $\mathbb{R}$ |
| ثابت | $f(x)=c$ | $\{c\}$ |
| درجه دوم (سرباز) | $f(x)=ax^2+bx+c$ | $a \gt 0: [y_{\min}, \infty)$ $a \lt 0: (-\infty, y_{\max}]$ |
| گویا $1/x$ | $f(x)=\frac{1}{x}$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ |
توابع درجه دوم (سهمیها)
تابع درجه دوم به شکل $f(x) = ax^2 + bx + c$ است. نمودار این تابع یک سهمی است. برد آن به علامت $a$ بستگی دارد.
- اگر $a \gt 0$، سهمی رو به بالا است و یک مقدار حداقل دارد. برد تابع از آن مقدار حداقل تا بینهایت است: $[y_{\min}, +\infty)$.
- اگر $a \lt 0$، سهمی رو به پایین است و یک مقدار حداکثر دارد. برد تابع از منفی بینهایت تا آن مقدار حداکثر است: $(-\infty, y_{\max}]$.
مقدار $y_{\min}$ یا $y_{\max}$ در رأس سهمی رخ میدهد و از فرمول $y_v = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$ به دست میآید.
توابع گویا و رادیکالی
یافتن برد توابع گویا¹ معمولاً نیازمند بررسی دامنه و مجانبها² است. برای تابع ساده $f(x) = \frac{1}{x}$ با دامنه $\mathbb{R} \setminus \{0\}$، برد نیز تمام اعداد حقیقی به جز صفر است، زیرا هیچ $x$ای وجود ندارد که $\frac{1}{x} = 0$ شود.
برای توابع رادیکالی³ مانند $f(x) = \sqrt{x}$، دامنه اعداد حقیقی غیرمنفی ($x \ge 0$) است. در این صورت، خروجی تابع نیز همیشه غیرمنفی خواهد بود. بنابراین برد این تابع $[0, +\infty)$ است. در حالت کلیتر $f(x) = \sqrt{ax + b}$، با توجه به دامنه، عبارت زیر رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد، و خود رادیکال نیز مقداری بزرگتر یا مساوی صفر تولید میکند.
۳. کاربرد عملی برد در مسائل علمی
مفهوم برد تنها یک انتزاع ریاضی نیست، بلکه در علوم و مهندسی کاربردهای فراوانی دارد. در فیزیک، برای توصیف محدوده مقادیر ممکن یک کمیت فیزیکی از برد استفاده میشود.
مثال فیزیک: پرتابه
فرض کنید یک گلولهی توپ را با سرعت اولیه $v_0 = 20 \, \text{m/s}$ و زاویه $\theta = 30^\circ$ پرتاب میکنیم. ارتفاع گلوله پس از $t$ ثانیه از رابطه $h(t) = (v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2}gt^2$ (با $g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2$) به دست میآید. با جایگذاری مقادیر، داریم: $h(t) = (20 \times \frac{1}{2}) t - 4.9t^2 = 10t - 4.9t^2$. این یک تابع درجه دوم بر حسب زمان $t$ است.
زمانی که گلوله در هواست ($t \ge 0$ تا زمان برخورد به زمین)، ارتفاع آن چه مقادیری میتواند بگیرد؟ این سؤال معادل یافتن برد تابع ارتفاع است. با توجه به اینکه این یک سهمی رو به پایین است ($a = -4.9 \lt 0$)، یک نقطه اوج دارد. با محاسبه رأس سهمی، حداکثر ارتفاع به دست میآید. برد تابع ارتفاع در بازه زمانی مذکور، بازهای از صفر (زمین) تا حداکثر ارتفاع (اوج) خواهد بود.
مثال شیمی: غلظت یک ماده
در یک واکنش شیمیایی، غلظت یک ماده با گذشت زمان از رابطه $C(t) = \frac{5t}{t+1}$ (بر حسب مول بر لیتر) پیروی میکند، که در آن $t \ge 0$ زمان بر حسب ثانیه است. میخواهیم بدانیم غلظت این ماده در طولانیمدت چه محدودهای خواهد داشت. با محاسبه حد تابع وقتی $t \to \infty$، متوجه میشویم که غلظت به $5$ مول بر لیتر نزدیک میشود ولی هرگز به آن نمیرسد. همچنین در $t=0$، غلظت صفر است. برد این تابع بازه $[0, 5)$ خواهد بود.
۴. چالشهای مفهومی درباره برد
خیر، این غیرممکن است. طبق تعریف، هر عضو برد، حتماً تصویر (Image) حداقل یک عضو از دامنه است. اگر مقداری $y$ در برد باشد، یعنی وجود دارد $x$ در دامنه که $f(x)=y$.
همدامنه مجموعهای است که ما مشخص میکنیم تابع میتواند مقادیرش در آن باشد (مثلاً وقتی میگوییم $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$، همدامنه $\mathbb{R}$ است)، اما برد مجموعهای از مقادیری است که تابع واقعاً به آنها «میرسد». برد همیشه زیرمجموعهای از همدامنه است. برای مثال، تابع $f(x)=x^2$ با دامنه $\mathbb{R}$ و همدامنه $\mathbb{R}$، دارای برد $[0, +\infty)$ است.
برای تخمین برد از روی نمودار، کافی است محور عمودی ($y$) را نگاه کنیم. برد مجموعه مقادیری از $y$ است که نمودار تابع آنها را لمس کرده یا از روی آنها عبور میکند. با نگاه کردن به پایینترین و بالاترین نقطه نمودار (در صورت وجود) و همچنین رفتار آن در بینهایتها، میتوان بازههای مربوط به برد را تشخیص داد.
پاورقیها
²مجانب (Asymptote): خطی است که نمودار تابع هر قدر به آن نزدیک میشود، اما هرگز به آن برخورد نمیکند (یا در بینهایت به آن میچسبد).
³رادیکالی (Radical Function): تابعی که در آن متغیر مستقل ($x$) زیر رادیکال (ریشه) قرار میگیرد، مانند $f(x)=\sqrt[n]{x}$.