تابع درجه دوم: از فرمول تا کاربردهای روزمره
۱. ساختار و شکل کلی تابع درجه دوم
تابع درجه دوم نوعی چندجملهای است که بالاترین توان متغیر آن ۲ میباشد. شکل استاندارد این تابع به صورت زیر است:- اگر $a \gt 0$، دهانهی سهمی رو به بالا است (محدب1).
- اگر $a \lt 0$، دهانهی سهمی رو به پایین است (مقعر2).
۲. ریشههای معادله و روش محاسبه
به مقادیری از $x$ که در آنها $f(x)=0$ شود، ریشههای تابع یا محلهای برخورد سهمی با محور $x$ میگویند. برای حل معادلهی درجه دوم $ax^{2}+bx+c=0$، معروفترین روش استفاده از فرمول کلی است:| مقدار $\Delta$ | تعداد ریشهها | نوع ریشهها |
|---|---|---|
| $\Delta \gt 0$ | ۲ | دو ریشهی حقیقی متمایز |
| $\Delta = 0$ | ۱ | یک ریشهی حقیقی مضاعف |
| $\Delta \lt 0$ | ۰ | ریشهای مختلط (غیر حقیقی) |
۳. رأس سهمی و کاربرد آن در بهینهسازی
نقطهی رأس، مهمترین نقطه روی نمودار سهمی است که نشاندهندهی بیشترین یا کمترین مقدار تابع میباشد. مختصات این نقطه از روابط زیر به دست میآید:- طول رأس: $x_{v}=-\frac{b}{2a}$
- عرض رأس: $y_{v}=f(x_{v})=a(x_{v})^{2}+b x_{v}+c$ یا $y_{v}=-\frac{\Delta }{4a}$
۴. کاربرد عملی: حرکت پرتابهها و طراحی قوسی
توابع درجه دوم در توصیف حرکت اجسامی که تحت تأثیر شتاب ثابت گرانش حرکت میکنند (حرکت پرتابه3) ظاهر میشوند. معادلهی مسیر یک توپ که با زاویه پرتاب میشود، به صورت یک سهمی است. برای نمونه، ارتفاع یک توپ پس از $t$ ثانیه از رابطهی زیر به دست میآید:| فرم تابع | مختصات رأس | کاربرد اصلی |
|---|---|---|
| استاندارد $ax^{2}+bx+c$ | $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$ | تحلیل کلی و یافتن ریشه |
| رأس $a(x-h)^{2}+k$ | $(h,k)$ | تشخیص سریع نقطهی بهینه |
| ریشهای $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ | $(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, ...)$ | مشاهدهی مستقیم ریشهها |
چالشهای مفهومی
۱. چرا همیشه نمیتوانیم از روش فاکتورگیری برای یافتن ریشهها استفاده کنیم؟
روش فاکتورگیری فقط زمانی کارآمد است که ریشهها اعداد گویا (کسر یا عدد صحیح) باشند. اما اگر ریشهها اعداد گنگ (شامل رادیکال) باشند، مانند معادلهی $x^{2}-2=0$ که ریشههای آن $\pm \sqrt{2}$ است، فاکتورگیری ساده ممکن نیست و باید از فرمول کلی استفاده کرد. در این موارد، فرمول کلی به عنوان یک ابزار جهانی عمل میکند.
۲. اگر ضریب $a$ بسیار کوچک باشد (مثلاً $0.001$)، چه تأثیری بر شکل نمودار میگذارد؟
هرچه قدر مطلق $a$ کوچکتر باشد، دهانهی سهمی بازتر و پهنتر میشود. در این حالت، تغییرات تابع به آرامی صورت میگیرد و نمودار به یک خط راست شباهت بیشتری پیدا میکند. برعکس، اگر $|a|$ بزرگ باشد، سهمی باریک و تند خواهد شد.
۳. تفاوت بین معادلهی درجه دوم و تابع درجه دوم در چیست؟
معادلهی درجه دوم یک عبارت ریاضی مانند $ax^{2}+bx+c=0$ است که به دنبال یافتن مقادیر خاصی از $x$ هستیم. اما تابع درجه دوم، رابطهای مانند $f(x)=ax^{2}+bx+c$ است که به ازای هر $x$، یک $f(x)$ متناظر دارد. به بیان دیگر، معادله یک پرسش است در حالی که تابع یک قانون کلی برای توصیف یک رابطه است.
پاورقیها
1. محدب (Convex): در یک تابع محدب، پارهخط واصل هر دو نقطه روی نمودار، بالای نمودار قرار میگیرد. برای سهمیهای رو به بالا، این ویژگی صادق است.
2. مقعر (Concave): در یک تابع مقعر، پارهخط واصل هر دو نقطه روی نمودار، زیر نمودار قرار میگیرد. سهمیهای رو به پایین، مقعر هستند.
3. حرکت پرتابه (Projectile Motion): حرکتی دوبعدی که در آن یک جسم تنها تحت تأثیر نیروی گرانش و مقاومت هوا (در حالت سادهسازی شده) حرکت میکند و مسیری سهموی را طی میکند.
