تابع چندجملهای: از تعریف تا رسم نمودار
آشنایی با توابع چندجملهای، درجه، ریشه، رسم نمودار و کاربردهای آن در مسائل روزمره و علمی
خلاصه: تابع چندجملهای یکی از پایهایترین مفاهیم در ریاضیات است. در این مقاله با زبان ساده یاد میگیریم که چندجملهایها چگونه تعریف میشوند، درجه یک تابع به چه معناست، ریشهها چگونه پیدا میشوند و شکل نمودار توابع درجه اول، دوم و سوم چگونه است. همچنین با مثالهای عددی و جدول، کاربرد این توابع را در زندگی واقعی بررسی میکنیم.
تعریف و ساختار تابع چندجملهای
به زبانی ساده، تابع چندجملهای1 تابعی است که در آن متغیر (معمولاً x) تنها با توانهای طبیعی (اعداد صحیح نامنفی) همراه ضرایب ثابت ظاهر میشود. شکل کلی یک تابع چندجملهای به این صورت است:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
در این نمایش، $a_n$ تا $a_0$ ضرایب ثابت (اغلب اعداد حقیقی) هستند و $n$ یک عدد صحیح و نامنفی است که بزرگترین توان متغیر را نشان میدهد. به این بزرگترین توان، درجه2 تابع چندجملهای میگویند و آن را با $\deg(P)$ نمایش میدهند.
? نکته: دقت کنید که در یک تابع چندجملهای، توان متغیرها همیشه اعداد صحیح و نامنفی هستند. عبارتهایی مثل $x^{-1}$ یا $x^{1/2}$ در این توابع دیده نمیشوند.
انواع توابع چندجملهای بر اساس درجه
توابع چندجملهای بر اساس بزرگترین توان (درجه) نامهای خاصی پیدا میکنند. شناخت این توابع به ما کمک میکند تا رفتار و شکل نمودار آنها را پیشبینی کنیم.
| نام تابع | درجه | شکل کلی | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| ثابت | 0 | $f(x)=c$ | $f(x)=5$ |
| خطی (درجه اول) | 1 | $f(x)=ax+b$ | $f(x)=2x+1$ |
| درجه دوم (سهمی) | 2 | $f(x)=ax^2+bx+c$ | $f(x)=x^2-4x+3$ |
| درجه سوم (مکعبی) | 3 | $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ | $f(x)=x^3-x$ |
ریشهیابی توابع چندجملهای
به مقادیری از $x$ که تابع در آنها صفر میشود، ریشهها3 یا صفرهای تابع میگویند. به عبارت دیگر، ریشههای معادله $P(x)=0$ همان ریشههای تابع هستند. تعداد ریشههای یک تابع چندجملهای حداکثر به اندازه درجه آن است (ممکن است کمتر باشد یا ریشه تکراری باشد).
روشهای یافتن ریشه:
- درجه اول: با حل معادله ساده $ax+b=0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$
- درجه دوم: با استفاده از فرمول کلی $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ یا روش تجزیه.
- درجات بالاتر: معمولاً با روشهای تجزیه، اتحادها یا به کمک ماشینحساب و کامپیوتر.
مثال عینی: کاربرد در محاسبه مساحت و پیشبینی
فرض کنید یک زمین کشاورزی به شکل مستطیل داریم که طول آن $5$ متر از عرضاش بیشتر است. اگر مساحت زمین $84$ متر مربع باشد، ابعاد زمین چقدر است؟
عرض را $x$ بگیرید. در این صورت طول برابر $x+5$ خواهد بود. مساحت مستطیل از رابطه طول × عرض به دست میآید: $x(x+5)=84$ با سادهسازی به یک معادله درجه دوم میرسیم: $x^2+5x-84=0$ حالا با استفاده از فرمول حل معادله درجه دوم:
عرض را $x$ بگیرید. در این صورت طول برابر $x+5$ خواهد بود. مساحت مستطیل از رابطه طول × عرض به دست میآید: $x(x+5)=84$ با سادهسازی به یک معادله درجه دوم میرسیم: $x^2+5x-84=0$ حالا با استفاده از فرمول حل معادله درجه دوم:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4\cdot 1 \cdot (-84)}}{2\cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25+336}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-5 \pm 19}{2}$
دو جواب به دست میآید: $x_1 = \frac{14}{2}=7$ و $x_2 = \frac{-24}{2}=-12$. از آنجا که عرض نمیتواند منفی باشد، عرض زمین $7$ متر و طول آن $12$ متر خواهد بود.
چالشهای مفهومی
❓ چرا تابع ثابت را یک تابع چندجملهای میدانیم؟ مگر متغیر دارد؟
تابع ثابت مانند $f(x)=5$ را میتوان به صورت $5x^0$ نوشت. از آنجا که $x^0 = 1$ و توان صفر یک عدد نامنفی است، این تابع در تعریف چندجملهای میگنجد و درجه آن صفر در نظر گرفته میشود.
تابع ثابت مانند $f(x)=5$ را میتوان به صورت $5x^0$ نوشت. از آنجا که $x^0 = 1$ و توان صفر یک عدد نامنفی است، این تابع در تعریف چندجملهای میگنجد و درجه آن صفر در نظر گرفته میشود.
❓ آیا تابع $f(x)=x^2 + \frac{1}{x}$ یک تابع چندجملهای است؟
خیر. عبارت $\frac{1}{x}$ را میتوان به صورت $x^{-1}$ نوشت. از آنجا که توان $-1$ یک عدد صحیح نامنفی نیست، این تابع چندجملهای محسوب نمیشود و به آن تابع گویا میگویند.
خیر. عبارت $\frac{1}{x}$ را میتوان به صورت $x^{-1}$ نوشت. از آنجا که توان $-1$ یک عدد صحیح نامنفی نیست، این تابع چندجملهای محسوب نمیشود و به آن تابع گویا میگویند.
❓ چگونه میتوان بیشینه تعداد ریشههای یک تابع درجه $n$ را تعیین کرد؟
یک تابع چندجملهای درجه $n$ حداکثر میتواند $n$ ریشه حقیقی داشته باشد. برای مثال، تابع درجه سوم میتواند $1$، $2$ یا $3$ ریشه حقیقی داشته باشد. این ریشهها نقاطی هستند که نمودار تابع محور $x$ را قطع میکند.
یک تابع چندجملهای درجه $n$ حداکثر میتواند $n$ ریشه حقیقی داشته باشد. برای مثال، تابع درجه سوم میتواند $1$، $2$ یا $3$ ریشه حقیقی داشته باشد. این ریشهها نقاطی هستند که نمودار تابع محور $x$ را قطع میکند.
نمودار توابع چندجملهای
شکل نمودار یک تابع چندجملهای به شدت به درجه آن وابسته است.
- درجه صفر (ثابت): خطی افقی و موازی محور $x$ها.
- درجه اول (خطی): یک خط راست با شیب ثابت. شیب مثبت یعنی خط صعودی و شیب منفی یعنی خط نزولی.
- درجه دوم (سهمی): شکلی شبیه به یک کاسه یا نعل. اگر ضریب $x^2$ مثبت باشد، دهانه سهمی رو به بالا و اگر منفی باشد، دهانه سهمی رو به پایین است.
- درجه سوم (مکعبی): نمودار معمولاً یک موج دارد. میتواند ابتدا بالا برود، سپس پایین و دوباره بالا (یا برعکس).
✨ نکته پایانی: توابع چندجملهای به دلیل ساختار ساده و رفتار قابل پیشبینی، در علوم کامپیوتر، فیزیک، اقتصاد و مهندسی کاربرد فراوانی دارند. از مدلسازی جمعیت تا طراحی مسیر پرواز موشکها، همگی ردپایی از این توابع در آنها دیده میشود. درک درست این مفهوم، پایهای برای یادگیری مباحث پیشرفتهتر مانند توابع گویا، سریهای توانی و مشتقگیری است.
پاورقی
1 Polynomial Function: تابعی که توسط یک چندجملهای تعریف میشود.
2 Degree: بزرگترین توان متغیر در یک چندجملهای که نشاندهنده مرتبه آن است.
3 Roots (Zeros): مقادیری از متغیر که مقدار تابع را برابر صفر قرار میدهند.
2 Degree: بزرگترین توان متغیر در یک چندجملهای که نشاندهنده مرتبه آن است.
3 Roots (Zeros): مقادیری از متغیر که مقدار تابع را برابر صفر قرار میدهند.
