مقدار تابع در یک نقطه: از مفهوم تا محاسبه
۱. مفهوم تابع و چرایی اهمیت مقدار آن در یک نقطه
پیش از آنکه به سراغ محاسبه مقدار یک تابع در نقطهای مشخص برویم، بد نیست نگاهی دوباره به خود مفهوم تابع بیندازیم. به زبان ساده، تابع[1Function] را میتوان یک «قاعده» یا «ماشین» در نظر گرفت که هر عدد ورودی را گرفته و بر اساس یک فرمول مشخص، یک عدد خروجی به ما تحویل میدهد . این خروجی، دقیقاً همان چیزی است که ما آن را «مقدار تابع در نقطه» مینامیم. برای مثال، ماشین آبمیوهگیری را تصور کنید. اگر به آن ۳ عدد پرتقال بدهید (ورودی)، خروجی یک لیوان آب پرتقال خواهد بود. اگر تعداد پرتقالها را تغییر دهید، مقدار آبمیوه خروجی نیز تغییر میکند. در ریاضیات، این ماشین را با نماد $f$ و ورودی را با $x$ نمایش میدهیم. آنگاه خروجی که همان مقدار تابع در نقطه $x$ است، با $f(x)$ نشان داده میشود . به عبارت دیگر، $f(a)=b$ یعنی اگر عدد $a$ را به عنوان ورودی به تابع $f$ بدهیم، عدد $b$ را به عنوان خروجی دریافت خواهیم کرد .۲. روشهای محاسبه مقدار تابع در یک نقطه
برای اینکه بتوانیم مقدار یک تابع را در نقطهای مشخص بهدست آوریم، باید بدانیم تابع به چه شکلی به ما معرفی شده است. عموماً توابع در قالبهای زیر ارائه میشوند:- ضابطهای (فرمولی): رایجترین شکل معرفی تابع است. در این حالت، یک فرمول ریاضی مانند $f(x)=x^2+1$ داده میشود.
- زوج مرتب: تابع به صورت مجموعهای از زوجهای مرتب $(x , f(x))$ تعریف میشود .
- نموداری: تابع با یک منحنی یا خط در دستگاه مختصات دکارتی نشان داده میشود .
محاسبه از روی ضابطه (جایگذاری ساده)
سادهترین حالت وقتی است که ضابطه تابع را داریم. در این حالت، کافی است عدد مورد نظر را به جای $x$ در فرمول تابع قرار دهیم و عملیات ریاضی را انجام دهیم تا مقدار $f(x)$ بهدست آید .پاسخ: کافی است عدد 2 را در ضابطه جایگذاری کنیم:
$f(2)=2(2)^2-3(2)+1 = 2(4)-6+1 = 8-6+1 = 3$
بنابراین، $f(2)=3$.
محاسبه از روی زوجهای مرتب
اگر تابع به صورت مجموعهای از زوجهای مرتب داده شده باشد، مقدار تابع در یک نقطه برابر است با مولفه دوم آن زوج مرتبی که مولفه اولش با آن نقطه برابر است .پاسخ:
- برای $f(0)$، به دنبال زوج مرتبی میگردیم که مولفه اول آن 0 باشد. این زوج $(0,0)$ است. پس $f(0)=0$.
- برای $f(3)$، به دنبال زوج مرتبی با مولفه اول 3 میگردیم. این زوج $(3,-2)$ است. پس $f(3)=-2$.
محاسبه از روی نمودار
در نمایش نموداری، مقدار تابع در نقطه $a$ برابر است با عرض نقطهای از نمودار که طول آن $a$ باشد . به عبارت دیگر، کافی است روی محور $x$ (محور افقی) نقطه $a$ را پیدا کرده، از آن خطی عمودی به سمت نمودار رسم کنیم تا نمودار را در یک نقطه قطع کند. سپس از آن نقطه خطی افقی به سمت محور $y$ (محور قائم) رسم کنیم. عددی که این خط روی محور $y$ نشان میدهد، همان $f(a)$ است.پاسخ: اگر روی محور $x$، نقطه 2 را بیابیم و به سمت نمودار خطی عمود رسم کنیم، به نقطهای روی نمودار میرسیم. اگر از آن نقطه به سمت محور $y$ خطی افقی رسم کنیم، به عدد 4 میرسیم. بنابراین $f(2)=4$.
۳. جدول مقایسه روشهای نمایش و محاسبه مقدار تابع
| روش نمایش | مثال | روش محاسبه f(a) |
|---|---|---|
| ضابطهای (فرمولی) | $f(x)=\sqrt{x+1}$ | عدد a را در فرمول جایگذاری میکنیم: $f(a)=\sqrt{a+1}$ |
| زوج مرتب | $f=\{(1,3), (2,5), (3,7)\}$ | به دنبال زوجی با مؤلفه اول a میگردیم. f(2)=5 |
| نمودار | خطی که از نقاط (1,3) و (2,5) میگذرد. | عرض نقطهای از نمودار به طول a را مییابیم. برای x=2، y=5 است. |
۴. کاربرد عملی: چرا مقدار تابع مهم است؟
مفهوم مقدار تابع در یک نقطه، فقط یک تمرین ریاضی نیست، بلکه پایه و اساس بسیاری از محاسبات در علوم و مهندسی است. درک این مفهوم به ما اجازه میدهد تا پدیدههای دنیای واقعی را مدلسازی کرده و پیشبینی کنیم .- در فیزیک: فرض کنید تابع مکان یک خودرو به صورت $s(t)=t^2+2t$ داده شده باشد، که در آن $t$ زمان بر حسب ثانیه و $s$ مکان بر حسب متر است. با محاسبه $s(3)$، میتوانیم بفهمیم خودرو در لحظه 3 ثانیه در کجا قرار دارد.
- در اقتصاد: تابع سود یک شرکت ممکن است به صورت $P(x)=500x-0.1x^2$ تعریف شود، که در آن $x$ تعداد محصولات فروخته شده است. مدیر شرکت با محاسبه $P(100)$ میتواند سود حاصل از فروش 100 واحد محصول را پیشبینی کند .
- در زندگی روزمره: فرض کنید برای خرید بنزین، مبلغی را بر اساس لیتر پرداخت میکنید. تابع هزینه به صورت $C(l)=3000l$ است (3000 تومان قیمت هر لیتر). اگر بخواهید 10 لیتر بنزین بزنید، کل هزینه شما $C(10)=30000$ تومان خواهد بود.
۵. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ چالش ۱: اگر تابع به صورت $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ داده شده باشد، مقدار $f(2)$ چقدر است؟
✅ پاسخ: اگر مستقیماً عدد 2 را در مخرج کسر جایگذاری کنیم، مخرج صفر شده و عبارت $\frac{0}{0}$ به دست میآید که تعریفنشده است . بنابراین، این تابع در نقطه x=2تعریف نشده است و مقداری ندارد. این نکته بسیار مهمی است: [دامنه تابع] مجموعه مقادیری از ورودی است که تابع برای آنها خروجی مشخص دارد .
❓ چالش ۲: اگر دو تابع $f$ و $g$ داشته باشیم و بدانیم $f(3)=5$ و $g(3)=5$، آیا میتوان نتیجه گرفت این دو تابع با هم برابرند؟
✅ پاسخ: خیر. تساوی دو تابع در یک نقطه، به معنای تساوی کل توابع نیست. برای برابری دو تابع، باید دامنههایشان یکسان باشد و برای همه اعضای دامنه، مقادیر توابع با هم برابر باشند . در اینجا فقط در یک نقطه (3) مساوی هستند، اما ممکن است در نقاط دیگر تفاوت داشته باشند.
❓ چالش ۳: آیا ممکن است یک تابع در یک نقطه، دو مقدار متفاوت داشته باشد؟
✅ پاسخ: خیر. طبق تعریف تابع، به ازای هر ورودی، فقط و فقط یک خروجی وجود دارد . اگر رابطهای در یک نقطه دو خروجی متفاوت داشته باشد، آن رابطه یک تابع نیست. برای مثال، رابطه $\{(1,2), (1,3)\}$ یک تابع نیست، زیرا ورودی 1 به دو خروجی 2 و 3 متصل شده است .
پاورقیها
1تابع (Function): در ریاضیات، تابع رابطهای بین دو مجموعه است که به هر عنصر از مجموعه اول (دامنه) دقیقاً یک عنصر از مجموعه دوم (برد) را نسبت میدهد . به بیان سادهتر، تابع یک قاعده یا ماشین است که ورودیها را به خروجیهای مشخص و یکتا تبدیل میکند.
