تابع خطی: از مفهوم تا کاربرد در دنیای واقعی
شناخت ارکان تابع خطی: شیب و عرض از مبدأ
هر تابع خطی را میتوان به شکل استاندارد $y = ax + b$ نوشت. در این رابطه، $x$ متغیر ورودی (متغیر مستقل) و $y$ متغیر خروجی (متغیر وابسته) است. دو پارامتر ثابت $a$ و $b$ نقش اصلی را در تعیین شکل و موقعیت خط ایفا میکنند.
- شیب (a) نرخ تغییرات تابع را نشان میدهد. یعنی به ازای یک واحد افزایش در $x$، مقدار $y$ چقدر تغییر میکند. اگر $a \gt 0$، تابع صعودی و با $a \lt 0$، تابع نزولی است. $a = 0$ حالت خاصی است که تابع ثابت $y = b$ را نتیجه میدهد.
- عرض از مبدأ (b) مقدار تابع در نقطهای است که خط، محور عمودی ($y$) را قطع میکند. به عبارت دیگر، اگر $x=0$ باشد، آنگاه $y = b$ خواهد بود.
روشهای رسم سریع نمودار خطی
برای رسم نمودار یک تابع خطی، تنها به دو نقطه نیاز داریم، زیرا از روی دو نقطه یک خط راست منحصربهفردی عبور میکند. سادهترین روش، استفاده از نقاط برخورد با محورهای مختصات است.
- یافتن عرض از مبدأ: نقطه $(0,b)$ را روی محور $y$ مشخص کنید.
- یافتن طول از مبدأ (ریشه): برای یافتن نقطه برخورد خط با محور $x$، کافی است $y = 0$ را قرار دهیم. از معادله $0 = ax + b$ نتیجه میشود $x = -\frac{b}{a}$ (به شرطی که $a \ne 0$). این نقطه $(-\frac{b}{a},0)$ است.
با اتصال این دو نقطه، خط مورد نظر رسم میشود. برای اطمینان از دقت کار، میتوان یک نقطه دیگر مانند $x=1$ را نیز محاسبه و بررسی کرد که روی خط قرار دارد.
کاربردهای عملی تابع خطی در زندگی روزمره
شاید تصور کنید تابع خطی تنها یک مفهوم انتزاعی در کتاب ریاضی است، اما این طور نیست. بسیاری از پدیدههای اطراف ما با دقت خوبی توسط مدلهای خطی توصیف میشوند.
- هزینههای اشتراکی: فرض کنید اپراتور تلفن همراه، هزینه ثابت ماهیانه $30,000$ ریال به عنوان حق اشتراک دریافت میکند و به ازای هر دقیقه مکالمه، $500$ ریال هزینه اضافه میکند. در این صورت، هزینه کل $y$ (ریال) بر حسب دقیقه مکالمه $x$ به صورت تابع خطی $y = 500x + 30000$ قابل محاسبه است. شیب $500$ نشاندهنده هزینه هر دقیقه و عرض از مبدأ $30000$ هزینه ثابت است.
- تبدیل دما: رابطه بین دما بر حسب سلسیوس $C$ و فارنهایت $F$ یک رابطه خطی است: $F = \frac{9}{5}C + 32$. اگر دمای هوا $20^{\circ}C$ باشد، میتوانیم به سرعت دمای فارنهایت را محاسبه کنیم.
- محاسبه کرایه تاکسی: بسیاری از تاکسیها دارای نرخ سرویس ثابت (بهای دربست) و نرخ متغیر به ازای هر کیلومتر طی شده هستند که دوباره یک مدل خطی را تشکیل میدهد.
| نوع شیب | علامت $a$ | روند نمودار | مثال عینی |
|---|---|---|---|
| صعودی | $a \gt 0$ | با افزایش $x$، $y$ افزایش مییابد | ارتباط سن و قد (در سالهای رشد) |
| نزولی | $a \lt 0$ | با افزایش $x$، $y$ کاهش مییابد | ارزش یک دستگاه خودرو با گذشت زمان |
| ثابت | $a = 0$ | خط افقی، $y$ ثابت میماند | قیمت یک محصول در طول یک هفته |
حل مثال جامع: پیشبینی جمعیت یک شهر
جمعیت یک شهر در سال $1390$ برابر $50,000$ نفر بوده و هر سال به طور ثابت $800$ نفر به آن افزوده میشود.
- تابع جمعیت $y$ را بر حسب سالهای پس از $1390$ (یعنی $x$) بنویسید.
- جمعیت شهر را در سال $1405$ پیشبینی کنید.
- در چه سالی جمعیت به $70,000$ نفر خواهد رسید؟
حل:
- نرخ رشد سالانه (شیب) برابر $a = 800$ و جمعیت اولیه (عرض از مبدأ) $b = 50000$ است. بنابراین تابع به صورت $y = 800x + 50000$ خواهد بود.
- سال $1405$ برابر است با $x = 1405 - 1390 = 15$. با جایگذاری در تابع: $y = 800 \times 15 + 50000 = 12000 + 50000 = 62000$ نفر.
- جمعیت هدف $70000$ است. داریم: $800x + 50000 = 70000 \Rightarrow 800x = 20000 \Rightarrow x = 25$. یعنی $25$ سال پس از $1390$، یعنی در سال $1415$ جمعیت به $70000$ نفر خواهد رسید.
چالشهای مفهومی
خیر. خطوط عمودی (مانند $x = 3$) را نمیتوان به صورت $y = ax + b$ نوشت، زیرا به ازای یک مقدار $x$، بینهایت $y$ داریم و شرط تابع بودن (یک ورودی، یک خروجی) نقض میشود. شیب در این خطوط تعریفنشده (متناهی) است.
در این حالت تابع به صورت $y = b$ (ثابت) در میآید و نمودار آن یک خط افقی است. معنای آن این است که با تغییر متغیر ورودی $x$، مقدار خروجی هیچ تغییری نمیکند. برای مثال، قیمت یک کتاب که مستقل از تعداد خریداران، ثابت است.
دو روش اصلی وجود دارد: اول، یافتن دو نقطه دلخواه روی خط و حل دستگاه دو معادله برای یافتن $a$ و $b$. دوم، استفاده از مفهوم شیب: ابتدا شیب خط را از روی دو نقطه محاسبه کنید ($a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$) و سپس با جایگذاری مختصات یکی از نقاط در معادله $y = ax + b$، مقدار $b$ را به دست آورید.
پاورقیها
1تابع خطی (Linear Function): تابعی که نمودار آن یک خط راست است و رابطه بین دو متغیر به صورت درجه اول باشد. شکل استاندارد آن $y = mx + c$ (یا $y = ax + b$) است.
2رابطه خطی (Linear Relationship): به رابطهای بین دو کمیت گفته میشود که تغییرات یکی با تغییرات دیگری تناسب مستقیم (با یک نرخ ثابت) داشته باشد. این رابطه بر روی نمودار به صورت یک خط راست نمایش داده میشود.