تشخیص تابع از روی زوجهای مرتب: شرط یکبهیک بودن اعضای دامنه
آموزش گامبهگام قانون تابعیت برای زوجهای مرتب، همراه با مثال، جدول و نکات طلایی
خلاصه: در ریاضیات، رابطهای تابع (Function) نامیده میشود که به هر عضو دامنه (ورودی) دقیقاً یک عضو از برد (خروجی) را نسبت دهد. برای تشخیص این ویژگی از روی زوجهای مرتب کافی است به xها توجه کنیم. اگر در مجموعه زوجهای مرتب، یک x تکرار شده باشد و yهای متفاوتی داشته باشد، آن رابطه تابع نیست. در این مقاله با زبانی ساده و مثالهای متنوع، مفهوم تابع، دامنه و برد1 را بررسی کرده و روش تشخیص سریع را در قالب جدول و چالشهای فکری ارائه میدهیم.
مفهوم زوج مرتب و رابطه
برای درک تابع، ابتدا باید با زوج مرتب آشنا شویم. یک زوج مرتب مانند
$(x,y)$
از دو مؤلفه تشکیل شده است: مؤلفهٔ اول (ورودی) که آن را با x نمایش میدهیم و مؤلفهٔ دوم (خروجی) که با y نشان داده میشود. به مجموعهای از این زوجهای مرتب، یک «رابطه» (Relation) گفته میشود. رابطه میتواند هر نوع تناظری بین دو مجموعه باشد. اما تابع نوع خاصی از رابطه است که قاعدهٔ مشخصی را دنبال میکند.
نکته: دامنه (Domain) مجموعهٔ تمام xهای یک رابطه است و برد (Range) مجموعهٔ تمام yهای آن.
شرط اصلی تابع بودن: قانون یکبهیک بودن ورودیها
مهمترین قانون برای تشخیص تابع بودن یک رابطه از روی زوجهای مرتب این است:
«هیچ دو زوج مرتب متفاوت نباید مؤلفهٔ اول (x) یکسان، اما مؤلفهٔ دوم (y) متفاوت داشته باشند.»
به عبارت دیگر، اگر در مجموعهای از زوجها، یک عدد بهعنوان ورودی تکرار شد، باید خروجی آن همیشه یکسان باشد. در غیر این صورت، یک ورودی به دو خروجی متفاوت نسبت داده شده و قانون تابع بودن نقض میشود.
مثال ۱ (رابطهٔ تابع): مجموعهٔ
$R_{1}=\{(2,5),(3,7),(4,9),(5,11)\}$
را در نظر بگیرید. همهٔ مؤلفههای اول ($x=2,3,4,5$) متفاوت هستند. بنابراین این رابطه یک تابع است.
مثال ۲ (رابطهٔ غیر تابع): مجموعهٔ
$R_{2}=\{(1,8),(2,10),(1,12),(3,14)\}$
را بررسی کنید. مؤلفهٔ اول
$1$
در دو زوج
$(1,8)$
و
$(1,12)$
تکرار شده، اما خروجیها متفاوت هستند ($8$ و $12$). بنابراین این رابطه تابع نیست.
جدول مقایسه: توابع در مقابل روابط غیر تابع
| مثال از زوجهای مرتب | وضعیت | دلیل |
|---|---|---|
| $\{(-1,0),(0,1),(1,4),(2,9)\}$ | تابع | همهٔ xها متمایز هستند. |
| $\{(a,2),(b,3),(a,4),(c,5)\}$ | غیر تابع | $x=a$ به دو خروجی $2$ و $4$ نگاشته شده. |
| $\{(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(1,1)\}$ | تابع | زوج تکراری $(1,1)$ تأثیری ندارد، چون ورودی تکراری خروجی یکسان دارد. |
| $\{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(-1,2)\}$ | غیر تابع | $x=-1$ دو خروجی متفاوت $1$ و $2$ دارد. |
کاربرد عملی: تشخیص سریع در مسائل امتحانی
در بسیاری از تستها و تمرینها، مجموعهای از زوجهای مرتب به شما داده میشود و از شما خواسته میشود که تابع بودن یا نبودن آن را تعیین کنید. بهترین راه این است که یک لیست ذهنی از xها تهیه کنید.
روش گامبهگام:
- به همهٔ زوجهای مرتب نگاه کنید.
- مؤلفههای اول (x) را در ذهن یا روی کاغذ جدا کنید.
- اگر هیچ xای تکراری نبود، بلافاصله آن رابطه تابع است.
- اگر x تکراری وجود داشت، yهای متناظر با آن x را بررسی کنید.
- اگر همهٔ yهای مربوط به یک x تکراری برابر بودند، رابطه تابع است (مانند مثال $(2,3)$ و $(2,3)$ که در واقع یک زوج تکراری است).
- اگر حداقل دو y متفاوت برای یک x تکراری یافتید، رابطه تابع نیست.
مثال عینی: فرض کنید در یک کلاس، به هر دانشآموز یک شماره دانشآموزی منحصربهفرد اختصاص داده شده است. رابطهٔ «شماره دانشآموزی به نمرهٔ ریاضی» یک تابع است، چون هر شماره (ورودی) به یک نمره (خروجی) وصل است. اما اگر رابطهای داشته باشیم که در آن یک شماره دانشآموزی به دو نمرهٔ متفاوت برای دو درس مختلف وصل شود (مثلاً ریاضی و فیزیک)، آن رابطه دیگر تابع نیست مگر اینکه آن را بهصورت جداگانه تعریف کنیم. این مثال نشان میدهد که مفهوم تابع در زندگی روزمره نیز کاربرد دارد.
چالشهای مفهومی
چالش ۱: آیا رابطهٔ $R=\{(3,5),(3,5),(4,6)\}$ یک تابع محسوب میشود؟
پاسخ: بله. هر چند $x=3$ دو بار تکرار شده، اما خروجی آن در هر دو بار یکسان ($5$) است. تکرار یک زوج یکسان تأثیری در تابع بودن ندارد.
چالش ۲: اگر دامنهٔ یک رابطه تهی باشد (هیچ زوجی نداشته باشد)، آیا آن رابطه تابع است؟
پاسخ: بله. رابطهٔ تهی بهطور توخالی (vacuously) یک تابع محسوب میشود، زیرا هیچ عضوی در دامنه نیست که قانون تابع را نقض کند.
چالش ۳: رابطهٔ $R=\{(1,2),(2,3),(3,2),(1,2)\}$ را بررسی کنید. آیا این رابطه تابع است؟
پاسخ: بله. زوج $(1,2)$ تکراری است و برای $x=1$ فقط یک خروجی ($2$) داریم. تمام $x$های دیگر نیز متمایز هستند.
برای تشخیص سریع تابع بودن از روی زوجهای مرتب، کافی است به مؤلفههای اول دقت کنیم. اگر یک مؤلفهٔ اول بیش از یک بار تکرار شده باشد و خروجیهای متفاوتی داشته باشد، رابطه تابع نیست. این قانون ساده، پایهٔ بسیاری از مفاهیم پیچیدهتر ریاضی مانند توابع یکبهیک و پوشا است. با تمرین و بررسی مثالهای متنوع، میتوانید در چند ثانیه تابع بودن یک رابطه را تشخیص دهید.
پاورقی
1دامنه (Domain): مجموعه تمام مقادیر مجاز برای ورودی (x) در یک رابطه.
2برد (Range): مجموعه تمام مقادیر خروجی (y) که توسط رابطه تولید میشود.
3تابع (Function): نوع خاصی از رابطه که در آن هر عنصر از دامنه به دقیقاً یک عنصر از برد متصل است.
2برد (Range): مجموعه تمام مقادیر خروجی (y) که توسط رابطه تولید میشود.
3تابع (Function): نوع خاصی از رابطه که در آن هر عنصر از دامنه به دقیقاً یک عنصر از برد متصل است.
