تابع از مجموعه A به مجموعه B: نگاشتی یکتا و دقیق
۱. تعریف اصلی تابع و اجزای آن
تابع یکی از مهمترین مفاهیم در ریاضیات است که رابطهی بین دو مجموعه را به شکلی بسیار دقیق توصیف میکند. اگر دو مجموعه A و B داشته باشیم، یک تابع مانند f قانونی است که به هر عنصر از مجموعه A، دقیقاً یک عنصر از مجموعه B را نسبت میدهد. به این ترتیب میگوییم: $f: A \rightarrow B$ و آن را به صورت "f تابعی از A به B است" میخوانیم. برای درک بهتر، بیایید اجزای این تعریف را با یک مثال ساده بررسی کنیم. فرض کنید مجموعه A شامل سه دانشآموز است: {زهرا، علی، نازنین} و مجموعه B شامل شمارههای صندلی آنها در کلاس: {۱، ۲، ۳}. اگر هر دانشآموز یک صندلی مشخص و منحصربهفرد داشته باشد، در این صورت میتوانیم یک تابع f تعریف کنیم که نام هر دانشآموز را به شماره صندلی او وصل کند. مثلاً:- f(زهرا) = ۲
- f(علی) = ۱
- f(نازنین) = ۳
۲. تفاوت تابع با رابطه
همهی توابع یک رابطه هستند، اما همهی روابط تابع نیستند. در یک رابطه، یک عضو از مجموعه A میتواند به چند عضو از مجموعه B وصل شود، یا اصلاً به عضوی وصل نشود. اما در تابع، این امکان وجود ندارد. به عبارت دیگر، شرط اصلی تابع بودن یک رابطه این است:| ویژگی | رابطه (عمومی) | تابع |
|---|---|---|
| شروط دامنه | هر عضو میتواند به چند عضو وصل شود یا وصل نشود. | هر عضو باید به دقیقاً یک عضو وصل شود. |
| نمایش با نمودار ون | از هر عضو A ممکن است چند فلش خارج شود. | از هر عضو A دقیقاً یک فلش خارج میشود. |
| عناصر مجموعه مقصد | میتوانند تصویر چند عضو باشند یا اصلاً تصویری نداشته باشند. | میتوانند تصویر چند عضو باشند یا اصلاً تصویری نداشته باشند (در تابع بودن خللی ایجاد نمیکند). |
۳. دامنه، مجموعه مقصد و برد
سه مفهوم بسیار مهم که باید به دقت از هم تفکیک شوند:- دامنه (A): مجموعهای از عناصر که به عنوان ورودی به تابع داده میشوند. در نمایش $f: A \rightarrow B$، دامنه همان A است.
- مجموعه مقصد (B): مجموعهای که عناصر خروجی تابع از آن انتخاب میشوند. ممکن است همهی اعضای B به عنوان خروجی یک عنصر از A ظاهر نشوند.
- برد: مجموعهای از عناصری از B است که تصویر حداقل یک عضو از A هستند. به عبارت دیگر: $\{ f(a) \mid a \in A \}$. برد همواره زیرمجموعهای از مجموعه مقصد است.
۴. انواع مهم توابع (یکبهیک و پوشا)
توابع بر اساس نحوهی ارتباط بین اعضای دامنه و مجموعه مقصد به انواع مختلفی دستهبندی میشوند. دو نوع بسیار مهم آن عبارتند از: تابع یکبهیک (تزریق[5]): تابعی است که در آن، عناصر متفاوت از دامنه، تصاویر متفاوتی در مجموعه مقصد دارند. یعنی اگر $a_1 \neq a_2$ آنگاه $f(a_1) \neq f(a_2)$. مثال: تابع $f(x) = 2x$ از اعداد طبیعی به اعداد طبیعی یکبهیک است. تابع پوشا (سورجکشن[6]): تابعی است که در آن، برد با مجموعه مقصد برابر است. یعنی هر عضو مجموعه مقصد B، تصویر حداقل یک عضو از دامنه A است. مثال: تابع $f(x) = x+1$ از اعداد صحیح به اعداد صحیح پوشا است، زیرا برای هر عدد صحیح y، عدد صحیح $x = y-1$ وجود دارد که $f(x) = y$. تابع یکبهیک و پوشا (تناظر یکبهیک): تابعی که هم یکبهیک است و هم پوشا. به چنین تابعی، نگاشت دوسویه[7] نیز میگویند. در این حالت، بین عناصر دو مجموعه A و B یک تناظر کامل برقرار است. جدول زیر این سه نوع تابع را با یک مثال ساده و با فرض A={۱,۲,۳} و B={۴,۵,۶} مقایسه میکند:| نوع تابع | شرایط | مثال (f(1), f(2), f(3)) | بررسی |
|---|---|---|---|
| یکبهیک (غیرپوشا) | تصاویر متمایز، ولی همهی اعضای B گرفته نشوند. | f(1)=۴, f(2)=۵, f(3)=۶ | مثالی موجود نیست (چون B فقط ۳ عضو دارد و همه گرفته شدهاند، پوشا هم میشود) |
| پوشا (غیر یکبهیک) | همهی اعضای B تصویر دارند، ولی ممکن است دو عضو A تصویر یکسان داشته باشند. | f(1)=۴, f(2)=۴, f(3)=۵ | عضو ۶ از B تصویری ندارد، پس پوشا نیست. |
| یکبهیک و پوشا (دوسویه) | تصاویر متمایز و همهی اعضای B تصویر دارند. | f(1)=۴, f(2)=۵, f(3)=۶ | یکبهیک و پوشا |
۵. کاربرد عملی: توابع در زندگی روزمره و علوم
مفهوم تابع فقط محدود به کلاس ریاضی نیست. در زندگی روزمره و علوم مختلف، نمونههای بیشماری از توابع وجود دارد:- ماشینهای فروش خودکار: اگر دکمهی یک نوشیدنی (عضو A) را فشار دهید، دقیقاً یک نوع نوشیدنی (عضو B) دریافت میکنید. این یک تابع است. (البته به شرطی که دستگاه خراب نباشد و برای یک دکمه دو نوشیدنی نریزد!)
- تبدیل دما: رابطهی بین دما بر حسب سلسیوس (A) و دما بر حسب فارنهایت (B) یک تابع است. فرمول آن $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$ است. به هر عدد سلسیوس، دقیقاً یک عدد فارنهایت نسبت داده میشود.
- محاسبه مساحت: مساحت یک دایره تابعی از شعاع آن است. $A(r) = \pi r^2$. با دادن یک شعاع (ورودی)، یک مساحت (خروجی) به دست میآید.
- کدپستی: تابعی که به هر آدرس منحصربهفرد (A) یک کدپستی (B) نسبت میدهد.
۶. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ آیا میتوان تابعی داشت که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی باشد و مجموعه مقصد آن مجموعه اعداد صحیح، اما برد آن فقط اعداد زوج باشد؟
پاسخ: بله، کاملاً ممکن است. به عنوان مثال تابع $f(n) = 2n$ را در نظر بگیرید. دامنه اعداد طبیعی $\{1,2,3,\dots\}$ است و مجموعه مقصد اعداد صحیح. اما خروجیهای این تابع همیشه زوج هستند $\{2,4,6,\dots\}$ که زیرمجموعهای از اعداد صحیح است. بنابراین برد، مجموعه اعداد زوج طبیعی است.
❓ اگر دو عضو از مجموعه A به یک عضو از مجموعه B متصل شوند، آیا باز هم این رابطه میتواند تابع باشد؟
پاسخ: بله، این اتفاق در توابع کاملاً عادی است. شرط تابع بودن این است که از هر عضو A فقط یک فلخ خارج شود، نه اینکه به هر عضو B فقط یک فلش وارد شود. به عنوان مثال، تابع $f(x) = x^2$ از اعداد صحیح به اعداد صحیح، هم $f(2)=4$ و هم $f(-2)=4$ است. دو عضو متفاوت دامنه (۲ و ۲-) یک تصویر واحد (۴) دارند، اما تابع همچنان معتبر است.
❓ آیا ممکن است یک تابع، همزمان هم یکبهیک باشد و هم پوشا نباشد؟ مثال بزنید.
پاسخ: بله. فرض کنید A={۱,۲} و B={۳,۴,۵}. تابع f با تعریف f(1)=۳ و f(2)=۴ یک تابع یکبهیک است (تصاویر ۳ و ۴ متمایزند) اما پوشا نیست، زیرا عضو ۵ از B تصویری از هیچ عضوی از A نیست. بنابراین تابعی که دامنهاش از مجموعه مقصدش کوچکتر باشد، هرگز نمیتواند پوشا باشد، اما میتواند یکبهیک باشد.
پاورقی
[1] نگاشت (Mapping): معادل دیگری برای تابع است که معمولاً در حالتهای عمومیتر استفاده میشود.
[2] دامنه (Domain): مجموعه تمام ورودیهای مجاز برای یک تابع.
[3] برد (Range): مجموعه تمام خروجیهایی که تابع در عمل تولید میکند.
[4] مجموعه مقصد (Codomain): مجموعهای که انتظار میرود خروجیهای تابع در آن قرار گیرند.
[5] تزریق (Injective): خاصیت یکبهیک بودن تابع.
[6] سورجکشن (Surjective): خاصیت پوشا بودن تابع.
[7] نگاشت دوسویه (Bijection): تابعی که هم یکبهیک و هم پوشا باشد.
