استقلال سه پیشامد: مفهوم چهار تساوی طلایی
شرط کامل استقلال برای سه رویداد تصادفی؛ از مثال سکه و تاس تا قضیهی برنشتاین
در نظریهی احتمال، استقلال پیشامدها مفهومی کلیدی است. برای سه پیشامد A، B و C، استقلال کامل (متقابل) تنها زمانی برقرار است که نهتنها هر جفت از آنها مستقل باشند (استقلال دوتایی)، بلکه احتمال اشتراک هر سه نیز برابر با حاصلضرب احتمالهای تکتک آنها باشد. در این مقاله با زبانی ساده و با کمک مثالهای عددی و جدول، به بررسی این چهار شرط میپردازیم و نشان میدهیم که چرا برقراری سه شرط اول برای اثبات استقلال کامل کافی نیست.
۱. از استقلال دو پیشامد تا سه پیشامد
برای درک استقلال سه پیشامد، ابتدا باید مفهوم استقلال دو پیشامد را مرور کنیم. دو پیشامد A و B مستقل هستند اگر بدانیم رخداد یکی روی احتمال رخداد دیگری تأثیری نداشته باشد. این مفهوم به زبان ریاضی به این صورت بیان میشود : $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ اما وقتی به سه پیشامد A، B و C میرسیم، موضوع کمی پیچیدهتر میشود. صرفاً مستقل بودن جفتها (استقلال دوتایی) برای اطمینان از استقلال کامل مجموعه کافی نیست. برای استقلال کامل سه پیشامد، باید چهار معادله بهطور همزمان برقرار باشند :
چهار شرط استقلال سه پیشامد
۱. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
۲. $P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C)$
۳. $P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C)$
۴. $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$
سه شرط اول، استقلال دوتایی (Pairwise Independence) و شرط چهارم، استقلال سهتایی (Triple Independence) را تضمین میکنند. به مجموعهی این چهار شرط، استقلال متقابل (Mutual Independence) میگویند .
۱. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
۲. $P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C)$
۳. $P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C)$
۴. $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$
۲. مثال نقض برنشتاین: وقتی سه شرط کافی نیست
آیا ممکن است سه پیشامد، دوتایی مستقل باشند، ولی شرط چهارم (استقلال سهتایی) برقرار نباشد؟ پاسخ مثبت است. اولین بار سرگئی برنشتاین (S. Bernstein) در سال ۱۹۲۸ مثالی نقض ارائه داد که این موضوع را روشن میکند . فرض کنید جعبهای داریم که چهار برگهی شمارهگذاری شده با اعداد سهرقمی در آن قرار دارد. هر رقم میتواند 1 یا 2 باشد. برگهها عبارتند از:112, 121, 211, 222 یک برگه را به تصادف انتخاب میکنیم. سه پیشامد زیر را تعریف میکنیم: * A: رقم اول برابر 1 باشد. * B: رقم دوم برابر 1 باشد. * C: رقم سوم برابر 1 باشد. حال به محاسبهی احتمالات میپردازیم. با توجه به اینکه هر چهار برگه شانس برابر دارند، احتمال هر پیشامد 1/2 است. برای مثال، پیشامد A در برگههای 112 و 121 رخ داده است.
| شرط | محاسبه | نتیجه |
|---|---|---|
| $P(A \cap B)$ | تنها برگهی 112 | $1/4$ |
| $P(A)\cdot P(B)$ | $(1/2) \times (1/2)$ | $1/4$برابر |
| $P(A \cap C)$ | تنها برگهی 121 | $1/4$ |
| $P(A)\cdot P(C)$ | $(1/2) \times (1/2)$ | $1/4$برابر |
| $P(B \cap C)$ | تنها برگهی 211 | $1/4$ |
| $P(B)\cdot P(C)$ | $(1/2) \times (1/2)$ | $1/4$برابر |
| $P(A \cap B \cap C)$ | هیچ برگهای با سه رقم 1 | $0$ |
| $P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$ | $(1/2) \times (1/2) \times (1/2)$ | $1/8$نابرابر |
۳. کاربرد در دنیای واقعی: بازی با تاس
برای درک بهتر، یک مثال ملموس با دو تاس را در نظر بگیرید . دو تاس سالم را پرتاب میکنیم. فضای نمونهای شامل 36 نتیجهی همشانس است. سه پیشامد زیر را تعریف میکنیم: * A: نتیجهی تاس اول برابر 1، 2 یا 3 باشد. $P(A)=1/2$ * B: نتیجهی تاس اول برابر 3، 4 یا 5 باشد. $P(B)=1/2$ * C: مجموع دو تاس برابر 9 باشد. $P(C)=4/36=1/9$ (جفتهای (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)) با کمی دقت میتوان دید که: * $A \cap B$ به معنای آن است که تاس اول فقط میتواند 3 باشد. پس $P(A \cap B)=6/36=1/6$. از طرفی $P(A)\cdot P(B)=1/4$. این دو با هم برابر نیستند، پس A و B مستقل نیستند. * اما اگر پیشامدها را طور دیگری تعریف کنیم، میتوانیم مجموعهای بسازیم که در آن شرط $P(A \cap B \cap C) = P(A) P(B) P(C)$ برقرار باشد، ولی جفتها مستقل نباشند . این نشان میدهد که برقراری شرط چهارم بهتنهایی نیز برای استقلال کامل کافی نیست و وجود هر چهار معادله ضروری است.۴. چالشهای مفهومی
❓ اگر سه پیشامد، مستقل دوتایی باشند، آیا لزوماً شرط $P(A \cap B \cap C) = P(A) P(B) P(C)$ برقرار است؟
خیر. مثال برنشتاین بهوضوح نشان میدهد که استقلال دوتایی لزوماً به استقلال سهتایی منجر نمیشود. در آن مثال، حاصلضرب احتمالها 1/8 بود در حالی که احتمال اشتراک هر سه پیشامد صفر بود. برای استقلال کامل، هر چهار معادله باید بهطور همزمان درست باشند.
❓ آیا ممکن است شرط $P(A \cap B \cap C) = P(A) P(B) P(C)$ برقرار باشد، ولی هیچکدام از جفتها مستقل نباشند؟
بله. این حالت برعکس حالت قبل است. میتوان پیشامدهایی ساخت که احتمال اشتراک هر سه، برابر با حاصلضرب احتمالهایشان باشد، اما پیشامدها بهصورت دوتایی وابسته باشند . این موضوع تأکید میکند که شرط چهارم بهتنهایی کافی نیست و باید سه شرط دیگر را نیز جداگانه بررسی کرد.
❓ تفاوت بین پیشامدهای ناسازگار (Mutually Exclusive) و مستقل (Independent) در سه پیشامد چیست؟
سه پیشامد ناسازگار یعنی اشتراک هیچ دوتایی از آنها پیشامدی ندارد ($P(A \cap B)=0$). اگر احتمال هر یک مثبت باشد، ناسازگاری بهمعنای وابستگی شدید است (رخداد یکی، رخداد دیگری را ناممکن میکند). بنابراین، پیشامدهای ناسازگار با احتمال مثبت، هرگز نمیتوانند مستقل باشند. استقلال به معنای عدم تأثیرگذاری است، نه عدم اشتراک .
جمعبندی: بررسی استقلال سه پیشامد نیازمند دقت بالایی است. نمیتوان صرفاً با اطمینان از استقلال جفتها، به استقلال کامل مجموعه رأی داد. شرط طلایی، برقراری همزمان چهار تساوی است: سه تساوی برای استقلال دوتایی و یک تساوی برای استقلال سهتایی. مثالهایی مانند مثال برنشتاین و مثالهای مرتبط با تاس، بهخوبی نشان میدهند که روابط بین پیشامدها میتواند بسیار ظریف و فراتر از برداشت اولیه باشد. به خاطر داشته باشید که استقلال متقابل (Mutual Independence) قویترین نوع استقلال است و استقلال دوتایی (Pairwise Independence) شکل ضعیفتری از آن محسوب میشود .
پاورقی
1 پیشامد تصادفی (Random Event): مجموعهای از پیامدهای ممکن در یک آزمایش تصادفی، مانند آمدن «شیر» در پرتاب سکه.2 استقلال دوتایی (Pairwise Independence): وضعیتی که در آن هر جفت از پیشامدها مستقل باشند.
3 استقلال متقابل (Mutual Independence): وضعیتی که در آن هر زیرمجموعهای از پیشامدها (از جمله کل مجموعه) مستقل باشند.
4 مثال برنشتاین (Bernstein‘s Example): اولین مثال نقض که نشان داد استقلال دوتایی سه پیشامد لزوماً به استقلال متقابل آنها منجر نمیشود.
