استقلال پیشامد و متمم: اگر A و B مستقل باشند، آنگاه A و B′ نیز مستقل‌اند.

برای درک قضیه مورد بحث، ابتدا باید با مفهوم استقلال آشنا شویم. دو پیشامد A و B را مستقل گوییم اگر وقوع یا عدم وقوع یکی بر روی احتمال وقوع دیگری تأثیری نداشته باشد. به زبان ساده‌تر، دانستن این که B رخ داده است، اطلاعات جدیدی درباره وقوع A به ما نمی‌دهد.

تعریف ریاضی این مفهوم بسیار دقیق است. دو پیشامد A و B مستقل هستند اگر و فقط اگر احتمال اشتراک آن‌ها برابر با حاصل‌ضرب احتمال‌های هر یک باشد:

این فرمول هسته اصلی تمام بحث‌های ما در این مقاله خواهد بود. توجه کنید که این تعریف برای همه پیشامدها، حتی آن‌هایی که احتمال صفر دارند، معتبر است.

متمم یک پیشامد مانند B که با $B'$ یا $B^c$ نشان داده می‌شود، به مجموعه‌ای از تمام پیشامدهای اولیه‌ای گفته می‌شود که در B نیستند. به بیان دیگر، $B'$ مکمل B در فضای نمونه است.

دو ویژگی مهم متمم که در اثبات قضیه اصلی به کار می‌آیند عبارتند از:

• احتمال متمم: $P(B') = 1 - P(B)$
• اشتراک یک پیشامد با متمم پیشامد دیگر: $A = (A \cap B) \cup (A \cap B')$ که این دو مجموعه جدا از هم (mutually exclusive) هستند.

اکنون به سراغ اصل مطلب می‌رویم. فرض کنید A و B مستقل هستند. می‌خواهیم نشان دهیم که A و $B'$ نیز مستقلند، یعنی باید ثابت کنیم:

برای اثبات، از اصل اتحاد مجموعه‌ها استفاده می‌کنیم. می‌دانیم:

$A = (A \cap B) \cup (A \cap B')$

از آنجا که $(A \cap B)$ و $(A \cap B')$ دو مجموعه ناسازگار (جدا از هم) هستند، داریم:

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')$

حال، از فرض استقلال A و B استفاده می‌کنیم: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. با جایگذاری در رابطه بالا:

$P(A) = P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B')$

سپس $P(A \cap B')$ را از رابطه جدا می‌کنیم:

$P(A \cap B') = P(A) - P(A) \cdot P(B) = P(A) \big(1 - P(B)\big)$

و در نهایت با توجه به ویژگی متمم ($P(B') = 1 - P(B)$)، به رابطه مطلوب می‌رسیم:

$P(A \cap B') = P(A) \cdot P(B')$

بدین ترتیب اثبات می‌شود که A و $B'$ نیز مستقل هستند. این قضیه به طور متقارن نشان می‌دهد که $A'$ و B و همچنین $A'$ و $B'$ نیز مستقل خواهند بود.

برای روشن شدن موضوع، یک مثال عینی و علمی را بررسی می‌کنیم. فرض کنید یک تاس سالم و یک سکه سالم را همزمان پرتاب می‌کنیم. فضای نمونه این آزمایش شامل $12$ حالت برابر است (شماره تاس از ۱ تا ۶ و نتیجه سکه یا رو (H) یا پشت (T)).

پیشامدهای زیر را تعریف می‌کنیم:

• A: «عدد تاس فرد باشد» یعنی $\{1,3,5\}$ برای هر نتیجه سکه.
• B: «نتیجه سکه رو بیاید» یعنی $\{1H,2H,3H,4H,5H,6H\}$.

می‌دانیم که نتیجه تاس و سکه بر یکدیگر تأثیری ندارند، بنابراین A و B مستقل هستند. حال می‌خواهیم استقلال A و $B'$ (یعنی «نتیجه سکه پشت بیاید») را بررسی کنیم.

$P(A) = \frac{1}{2}$، $P(B') = \frac{1}{2}$ و $P(A \cap B')$ احتمال این است که تاس فرد و سکه پشت بیاید که شامل حالت‌های $\{1T,3T,5T\}$ می‌شود. بنابراین:

$P(A \cap B') = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

از طرفی $P(A) \cdot P(B') = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ است. مشاهده می‌کنیم که تساوی برقرار است، پس A و $B'$ نیز مستقل هستند. این مثال ساده به خوبی صحت قضیه را نشان می‌دهد.

5. چالش‌های مفهومی

گاهی اوقات محاسبه $P(A \cap B')$ به طور مستقیم دشوار است، اما می‌دانیم که A و B مستقل هستند. در این صورت با استفاده از این قضیه می‌توانیم به سادگی آن را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، فرض کنید در یک کارخانه، احتمال سالم بودن محصول A برابر $0.95$ و احتمال بسته‌بندی صحیح محصول B برابر $0.98$ است و این دو رویداد مستقل هستند. می‌خواهیم احتمال این که محصول سالم باشد (A) ولی بسته‌بندی آن نادرست باشد ($B'$) را پیدا کنیم. طبق قضیه:

$P(A \cap B') = P(A) \cdot P(B') = 0.95 \times (1 - 0.98) = 0.95 \times 0.02 = 0.019$

این محاسبه ساده نشان‌دهنده قدرت این قضیه در مسائل عملی است.

جمع‌بندی

در این مقاله با یکی از قضایای پایه‌ای و کاربردی نظریه احتمال آشنا شدیم: اگر دو پیشامد A و B مستقل باشند، آن‌گاه A با متمم B نیز مستقل خواهد بود. اثبات این قضیه تنها با استفاده از تعریف استقلال و خواص اصلی احتمال و مجموعه‌ها انجام شد. همچنین دیدیم که این قضیه به طور متقارن برای متمم A و B و متمم هر دو نیز برقرار است. مثال‌های ارائه شده، از جمله آزمایش تاس و سکه و مثال کارخانه، کاربرد عملی این قضیه را در حل مسائل روشن ساختند. درک این مفهوم ساده اما عمیق، گامی مهم در جهت تحلیل درست پدیده‌های تصادفی و مدل‌سازی آن‌هاست.

¹ پیشامد مستقل (Independent Event): در نظریه احتمال، دو پیشامد را مستقل گویند اگر وقوع یکی بر احتمال وقوع دیگری تأثیری نداشته باشد. رابطه ریاضی آن $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ است.