نمودار درختی: نمایش شاخهای حالتها و احتمالها برای پیگیری مسیرها و محاسبهٔ احتمال پیشامدهای مرکب
ساختار اصلی نمودار درختی: ریشه، شاخهها و گرهها
هر نمودار درختی از سه جزء اصلی تشکیل شده است. ریشه (نقطه شروع) که نشاندهنده وضعیت اولیه قبل از انجام آزمایش تصادفی است. از ریشه، شاخهها منشعب میشوند که هر کدام به یک نتیجه ممکن در آزمایش اول اشاره دارند. روی هر شاخه، احتمال وقوع آن نتیجه نوشته میشود. انتهای هر شاخه به یک گره میرسد که یا نقطه شروع آزمایش بعدی است (در آزمایشهای چندمرحلهای) یا یک نتیجه نهایی را نشان میدهد. برای مثال، پرتاب یک سکه سالم را در نظر بگیرید. ریشه، نقطه قبل از پرتاب است. دو شاخه از آن خارج میشود: یکی به سمت «خط» با احتمال 0.5 و دیگری به سمت «شیر» با احتمال 0.5. این سادهترین شکل نمودار درختی است. اگر آزمایش را تکرار کنیم، از هر گره نهایی دوباره دو شاخه با احتمالات مشابه خارج میشود.قانون ضرب احتمال در مسیرهای درخت
برای محاسبه احتمال یک پیشامد مرکب که از چند مرحله پشت سر هم تشکیل شده، کافی است احتمالات مسیر متناظر با آن پیشامد را در طول شاخهها در یکدیگر ضرب کنیم. این همان قانون ضرب احتمال است. در نمودار درختی، هر مسیر از ریشه تا یک برگ (انتهای یک شاخه در آخرین مرحله) نمایانگر یک حالت ممکن برای انجام کل آزمایش است. فرض کنید میخواهیم احتمال اینکه در دو پرتاب متوالی یک سکه، ابتدا شیر و سپس خط بیاید را حساب کنیم. درخت دو مرحلهای را رسم میکنیم. مسیر «شیر» در مرحله اول و سپس «خط» در مرحله دوم را دنبال میکنیم. احتمال این مسیر برابر است با: $P(شیر\ در\ اول\ و\ خط\ در\ دوم) = P(شیر) \times P(خط) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$. این روش حتی زمانی که احتمالها در مراحل مختلف تغییر کنند (مثلاً در انتخاب بدون جایگذاری) نیز به راحتی قابل استفاده است.کاربرد عملی: مثال انتخاب از یک کیسه
یک مثال ملموس و کاربردی را بررسی میکنیم. در یک کیسه، ۳ توپ قرمز و ۲ توپ آبی وجود دارد. فرض کنید دو توپ را بهطور متوالی و بدون جایگذاری از کیسه خارج میکنیم. میخواهیم بدانیم احتمال اینکه هر دو توپ قرمز باشند چقدر است؟ در مرحله اول، احتمال قرمز آمدن $\frac{3}{5}$ و احتمال آبی آمدن $\frac{2}{5}$ است. اگر در مرحله اول توپ قرمز خارج شده باشد، ۲ توپ قرمز و ۲ توپ آبی در کیسه میماند. بنابراین در مرحله دوم، احتمال قرمز آمدن $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ خواهد بود. اگر در مرحله اول آبی خارج شده باشد، ۳ توپ قرمز و ۱ توپ آبی میماند و احتمال قرمز آمدن در مرحله دوم $\frac{3}{4}$ است. با ضرب احتمالات در مسیر «قرمز، قرمز» داریم: $P(قرمز\ اول\ و\ قرمز\ دوم) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$. این مثال به خوبی نشان میدهد که چگونه نمودار درختی، محاسبه احتمالات را در شرایط وابسته3 ساده و منظم میکند.| مرحله اول | مرحله دوم (شرطی) | مسیر (پیشامد مرکب) | محاسبه احتمال |
|---|---|---|---|
| قرمز (3/5) | قرمز (2/4) | قرمز، قرمز | (3/5)*(2/4)=6/20 |
| قرمز (3/5) | آبی (2/4) | قرمز، آبی | (3/5)*(2/4)=6/20 |
| آبی (2/5) | قرمز (3/4) | آبی، قرمز | (2/5)*(3/4)=6/20 |
| آبی (2/5) | آبی (1/4) | آبی، آبی | (2/5)*(1/4)=2/20 |
محاسبه احتمال پیشامدهای مرکب از چند مسیر
گاهی اوقات یک پیشامد مرکب میتواند از چند مسیر مختلف در درخت حاصل شود. برای محاسبه احتمال چنین پیشامدی، باید احتمال تمام مسیرهایی که به آن پیشامد منجر میشوند را با هم جمع کنیم. این بر اساس قانون جمع احتمال است. در مثال کیسه توپ، احتمال اینکه توپ دوم قرمز باشد (بدون توجه به توپ اول) چقدر است؟ دو مسیر به این نتیجه میرسند: «قرمز، قرمز» و «آبی، قرمز». احتمال هر کدام را از جدول بالا داریم. بنابراین: $P(توپ\ دوم\ قرمز) = P(قرمز،قرمز) + P(آبی،قرمز) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$. جالب است بدانید که این احتمال با احتمال قرمز بودن توپ اول (3/5) برابر است. نمودار درختی این حقیقت پنهان را به خوبی نمایش میدهد.چالشهای مفهومی
❓ اگر در یک نمودار درختی، مجموع احتمالات روی شاخههای یک گره برابر با 1 نباشد، چه معنایی دارد؟
✅ این به آن معناست که ما همه حالتهای ممکن را در نظر نگرفتهایم یا احتمالها را به درستی تعیین نکردهایم. طبق اصول احتمال، مجموع احتمال تمام پیشامدهای ممکن که از یک نقطه شروع (گره) حاصل میشوند، باید دقیقاً برابر 1 باشد. این یک خطا در تحلیل مسئله است.
❓ تفاوت بین رسم نمودار درختی برای انتخاب با جایگذاری و بدون جایگذاری چیست؟
✅ در انتخاب با جایگذاری، شرایط در مراحل مختلف تغییر نمیکند و احتمالات روی شاخههای مشابه در تمام مراحل یکسان میماند (مثلاً پرتاب مکرر سکه). در انتخاب بدون جایگذاری، با حذف یک گزینه، تعداد حالتهای ممکن و در نتیجه احتمالات برای مراحل بعدی تغییر میکند (مثل مثال کیسه توپ). نمودار درختی این تفاوت را به وضوح نشان میدهد.
❓ چه زمانی استفاده از نمودار درختی نسبت به روشهای دیگر (مثل فرمولنویسی) ارجحیت دارد؟
✅ زمانی که مسئله شامل چند مرحله متوالی است (معمولاً ۲ تا ۴ مرحله) و تعداد حالتها در هر مرحله کم است (مثلاً پرتاب سکه، تاس، یا انتخاب چند توپ رنگی)، نمودار درختی بهترین گزینه است. برای مسائل با مراحل زیاد یا حالتهای بسیار زیاد، رسم درخت پیچیده و غیرعملی میشود و روشهای تحلیلی یا ترکیباتی4 مناسبتر هستند.
پاورقی
1 احتمال شرطی (Conditional Probability): احتمال وقوع یک پیشامد، به شرط اینکه بدانیم پیشامد دیگری حتماً رخ داده است.
2 قانون ضرب احتمال (Multiplication Rule): قاعدهای که میگوید برای بهدست آوردن احتمال رخداد همزمان دو یا چند پیشامد، احتمالهای آنها را در طول مسیر در یکدیگر ضرب میکنیم.
3 پیشامدهای وابسته (Dependent Events): پیشامدهایی که نتیجه یکی بر نتیجه دیگری تأثیر میگذارد، مانند خارج کردن توپ از کیسه بدون بازگرداندن آن.
4 علم ترکیبات (Combinatorics): شاخهای از ریاضیات که به شمارش روشهای مختلف انتخاب و چیدمان اشیاء میپردازد و در محاسبه احتمال در فضاهای نمونه بزرگ کاربرد دارد.
