قانون ضرب احتمال برای سه پیشامد: از رابطه تا کاربرد
۱. از دو پیشامد تا سه پیشامد: بسط یک قانون پایهای
برای درک قانون ضرب سه پیشامد، بهتر است ابتدا از قانون ضرب دو پیشامد شروع کنیم. اگر A و B دو پیشامد باشند، احتمال وقوع همزمان آنها (اشتراک) از رابطه زیر به دست میآید:
یا به طور معادل: $P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$
این فرمول میگوید که برای محاسبه احتمال وقوع هر دو رویداد، ابتدا احتمال وقوع رویداد اول را در نظر میگیریم، سپس آن را در احتمال وقوع رویداد دوم، به شرطی که رویداد اول قبلاً رخ داده باشد، ضرب میکنیم. حال این ایده را به سه پیشامد A، B و C تعمیم میدهیم.
فرض کنید میخواهیم احتمال این را محاسبه کنیم که هر سه پیشامد A، B و C با هم رخ دهند. میتوانیم این فرآیند را به صورت گامبهگام تصور کنیم: ابتدا پیشامد A رخ میدهد، سپس با شرط وقوع A، پیشامد B رخ میدهد، و در نهایت با شرط وقوع هر دو پیشامد A و B، پیشامد C رخ دهد. این دقیقاً همان چیزی است که در قانون ضرب برای سه پیشامد میبینیم.
۲. فرمول نهایی: قانون ضرب احتمال برای سه پیشامد
بر اساس استدلال بالا، قانون ضرب احتمال برای سه پیشامد A، B و C به صورت زیر نوشته میشود:
در این فرمول:
- $P(A \cap B \cap C)$ احتمال اشتراک سه پیشامد A، B و C است.
- $P(A)$ احتمال وقوع پیشامد A است.
- $P(B|A)$ احتمال وقوع پیشامد B، به شرط اینکه A رخ داده باشد.
- $P(C|A \cap B)$ احتمال وقوع پیشامد C، به شرط اینکه هر دو پیشامد A و B رخ داده باشند.
نکته بسیار مهم این است که ترتیب پیشامدها در این فرمول میتواند تغییر کند. ما میتوانستیم فرمول را با پیشامد B شروع کنیم و به رابطه $P(B) \times P(A|B) \times P(C|A \cap B)$ برسیم. نکته کلیدی، درک این است که هر بار، احتمال شرطی بر اساس پیشامدهای قبلی که رخ دادهاند، تعریف میشود.
۳. مثال عملی: انتخاب سه توپ از یک کیسه
برای روشن شدن موضوع، یک مثال ساده و ملموس میزنیم. فرض کنید یک کیسه شامل 5 توپ قرمز، 3 توپ آبی و 2 توپ سبز است (جمعاً 10 توپ). ما به صورت تصادفی و بدون جایگذاری، سه توپ را پشت سر هم از کیسه خارج میکنیم. میخواهیم احتمال این را حساب کنیم که توپ اول قرمز، توپ دوم آبی و توپ سوم سبز باشد.
پیشامدها را به این صورت تعریف میکنیم:
- A: توپ اول قرمز باشد.
- B: توپ دوم آبی باشد.
- C: توپ سوم سبز باشد.
حال گامبهگام با استفاده از قانون ضرب سه پیشامد پیش میرویم:
- مرحله اول: احتمال قرمز بودن توپ اول: $P(A) = \frac{5}{10}$.
- مرحله دوم: پس از خارج شدن یک توپ قرمز، 9 توپ در کیسه باقی میماند (4 قرمز، 3 آبی، 2 سبز). احتمال آبی بودن توپ دوم به شرط قرمز بودن توپ اول: $P(B|A) = \frac{3}{9}$.
- مرحله سوم: پس از خارج شدن توپهای قرمز و آبی، 8 توپ در کیسه باقی میماند (4 قرمز، 2 آبی، 2 سبز). احتمال سبز بودن توپ سوم به شرط قرمز و آبی بودن دو توپ قبلی: $P(C|A \cap B) = \frac{2}{8}$.
بنابراین احتمال مورد نظر برابر است با:
پس با احتمال $\frac{1}{24}$ این ترتیب خاص (اول قرمز، دوم آبی، سوم سبز) رخ میدهد.
۴. کاربرد در پیشبینی رویدادهای وابسته: مثال تست زنی
فرض کنید در یک آزمون چهارگزینهای، دانشآموزی به سه سوال پشت سر هم پاسخ میدهد. تجربه نشان داده است که اگر او به یک سوال پاسخ صحیح دهد، احتمال پاسخ صحیح به سوال بعدی به دلیل افزایش اعتماد به نفس، $0.8$ است و اگر به دو سوال پشت سر هم پاسخ صحیح دهد، احتمال پاسخ صحیح به سوال سوم به $0.9$ میرسد. احتمال اینکه او به هر سه سوال اول، دوم و سوم پاسخ صحیح دهد، چقدر است؟ (فرض کنید احتمال پاسخ صحیح به سوال اول به تنهایی $0.6$ است).
در اینجا پیشامدها را تعریف میکنیم:
- A: پاسخ به سوال اول صحیح است.
- B: پاسخ به سوال دوم صحیح است.
- C: پاسخ به سوال سوم صحیح است.
اطلاعات مسئله به زبان احتمال شرطی:
- $P(A) = 0.6$
- $P(B|A) = 0.8$ (اگر اولی را درست زده باشد، دومی را با احتمال $0.8$ درست میزند).
- $P(C|A \cap B) = 0.9$ (اگر اولی و دومی را درست زده باشد، سومی را با احتمال $0.9$ درست میزند).
با استفاده از قانون ضرب سه پیشامد:
یعنی حدود $43.2\%$ احتمال دارد که او به هر سه سوال پاسخ صحیح دهد.
۵. مقایسه با حالات خاص: استقلال پیشامدها
قانون ضرب زمانی که پیشامدها مستقل باشند، شکل سادهتری به خود میگیرد. اگر سه پیشامد A، B و C مستقل باشند، یعنی وقوع یا عدم وقوع هیچکدام بر دیگری تأثیری نداشته باشد، آنگاه احتمالهای شرطی به احتمالهای ساده تبدیل میشوند:
بنابراین قانون ضرب به صورت زیر در میآید:
$P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$
برای مثال، اگر سه سوال در آزمون آنقدر از هم دور باشند که پاسخگویی به هر یک کاملاً مستقل از دیگری باشد (و دانشآموز شانس ثابتی برای هر سوال داشته باشد)، میتوانیم از این فرمول سادهتر استفاده کنیم. جدول زیر تفاوت این دو حالت را نشان میدهد.
| ویژگی | پیشامدهای وابسته (قانون کلی) | پیشامدهای مستقل (حالت خاص) |
|---|---|---|
| فرمول اصلی | $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \cap B)$ | $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$ |
| شرط استفاده | همیشه برقرار است (تعریف احتمال شرطی). | تنها زمانی که پیشامدها مستقل باشند. |
| مثال | انتقال ژنهای خاص در خانواده | پرتاب یک سکه سه بار پشت سر هم |
۶. چالشهای مفهومی
❓ سوال ۱: اگر در قانون ضرب سه پیشامد، ترتیب پیشامدها را عوض کنیم، آیا نتیجه نهایی تغییر میکند؟
پاسخ: خیر، نتیجه نهایی تغییر نمیکند زیرا همه این فرمولها در نهایت یک چیز را محاسبه میکنند: $P(A \cap B \cap C)$. برای مثال، اگر با B شروع کنیم، به $P(B) \times P(A|B) \times P(C|A \cap B)$ میرسیم که با رابطه قبلی برابر است. این خاصیت به جابهجاییپذیری اشتراک مجموعهها برمیگردد. با این حال، در مسائل عملی، انتخاب ترتیب مناسب میتواند محاسبات را آسانتر کند.
❓ سوال ۲: آیا میتوان قانون ضرب را برای بیش از سه پیشامد نیز بسط داد؟ فرمول آن به چه صورت است؟
پاسخ: بله، این قانون به راحتی به n پیشامد قابل تعمیم است. برای پیشامدهای $A_1, A_2, ..., A_n$، قانون ضرب احتمال به صورت زیر نوشته میشود:
❓ سوال ۳: چه تفاوتی بین قانون ضرب برای پیشامدهای وابسته و قانون ضرب برای پیشامدهای مستقل وجود دارد؟
پاسخ: در پیشامدهای وابسته، احتمال وقوع یک پیشامد تحت تأثیر وقوع یا عدم وقوع پیشامدهای دیگر قرار میگیرد. بنابراین در فرمول، از احتمالهای شرطی استفاده میکنیم که این وابستگی را نشان دهند. اما در پیشامدهای مستقل، وقوع یک پیشامد هیچ تأثیری بر دیگری ندارد. در نتیجه، احتمال شرطی با احتمال ساده برابر میشود ($P(B|A) = P(B)$) و فرمول به سادهترین شکل خود یعنی ضرب سه احتمال ساده تبدیل میشود. به عبارت دیگر، قانون کلی برای همه حالتها صادق است، اما در حالت استقلال، میتوانیم آن را سادهتر کنیم.
پاورقی
1 احتمال شرطی (Conditional Probability): احتمالی که وقوع یک پیشامد با در نظر گرفتن این که پیشامد دیگری قبلاً رخ داده است، محاسبه میشود. نماد $P(A|B)$ نشاندهنده احتمال وقوع A به شرط وقوع B است.
2 اشتراک (Intersection): در نظریه مجموعهها و احتمال، اشتراک دو یا چند پیشامد به معنای رخ دادن همزمان همه آنهاست. با نماد $\cap$ نشان داده میشود.
3 پیشامدهای مستقل (Independent Events): دو یا چند پیشامد را مستقل گویند اگر وقوع یکی از آنها تأثیری بر احتمال وقوع دیگری نداشته باشد. در این حالت $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
