تابع: رابطه‌ای بین دو مجموعه که در آن به هر عضو از مجموعه اول دقیقاً یک عضو از مجموعه دوم نسبت داده می‌شود

تابع: پلی بین دنیای اعداد

تعریف تابع: ورودی، خروجی و قانون‌مندی

به زبان ساده، تابع (Function) یک قانون یا رابطه‌ی بسیار منظم بین دو مجموعه است. اولین مجموعه را "مجموعه‌ی ورودی" یا دامنه (Domain) و مجموعه‌ی دوم را "مجموعه‌ی خروجی" یا برد (Range) می‌نامیم. اما چیزی که یک رابطه را به تابع تبدیل می‌کند، دقت و ترتیب آن است:

به این عضو منحصربه‌فرد در مجموعه‌ی دوم، "تصویر" (Image) آن عضو ورودی می‌گوییم. برای مثال، دستگاه خودپرداز را در نظر بگیرید. شما یک کارت بانکی (ورودی) به دستگاه می‌دهید و دستگاه یک سری اسکناس (خروجی) به شما تحویل می‌دهد. اگر دستگاه درست کار کند، به ازای یک کارت مشخص و یک درخواست معین، دقیقاً یک مقدار پول مشخص به شما می‌دهد. این یک تابع است.

چگونه یک تابع را تشخیص دهیم؟

تشخیص تابع بودن یک رابطه کار سختی نیست. کافیست به جفت‌های مرتب شده (Ordered Pairs) آن نگاه کنیم. اگر دو جفت متمایز داشته باشیم که عضو اول (ورودی) آن‌ها یکی باشد، اما عضو دوم (خروجی) آن‌ها متفاوت باشد، آن رابطه یک تابع نیست. به عبارت دیگر، در یک تابع، هیچ ورودی نمی‌تواند دو خروجی متفاوت داشته باشد.

برای درک بهتر، جدول زیر را ببینید:

چهار نمایش اصلی یک تابع

توابع را می‌توانیم به چهار روش مختلف نمایش دهیم. هر کدام از این روش‌ها برای درک بخشی از ویژگی‌های تابع مفید هستند.

• نمایش کلامی (Verbal Representation): توصیف تابع با کلمات. مانند: "به هر عدد، مربع آن را نسبت بده."
• نمایش عددی (Numerical Representation): استفاده از جدول مقادیر. برای ورودی‌های مشخص، خروجی‌ها را محاسبه و در جدول می‌نویسیم.
• نمایش جبری یا نمادین (Algebraic/Symbolic Representation): استفاده از فرمول‌های ریاضی. رایج‌ترین روش است. مانند $f(x) = x^2$.
• نمایش هندسی یا نموداری (Geometric/Graphical Representation): رسم نقاط $(x, f(x))$ در دستگاه مختصات. این روش دید کلی از رفتار تابع به ما می‌دهد.

انواع توابع: دسته‌بندی بر اساس رفتار

توابع بر اساس فرمول و نحوه‌ی اثرگذاری‌شان بر ورودی، به دسته‌های مختلفی تقسیم می‌شوند. در اینجا با چند نوع مهم و پرکاربرد آشنا می‌شویم:

• تابع ثابت (Constant Function): خروجی آن همیشه یک عدد ثابت است. فرمول: $f(x)=c$.
• تابع خطی (Linear Function): نمودار آن یک خط راست است. فرمول: $f(x)=ax+b$.
• تابع درجه دوم (Quadratic Function): نمودار آن یک سهمی است. فرمول: $f(x)=ax^2+bx+c$.
• تابع یک‌به‌یک (One-to-One / Injective Function): به ازای دو ورودی متفاوت، دو خروجی متفاوت داریم. یعنی اگر $x_1 \neq x_2$ آن‌گاه $f(x_1) \neq f(x_2)$.
• تابع پوشا (Onto / Surjective Function): برد تابع با مجموعه‌ی دوم (که به آن مجموعه‌ی مقابل (Codomain) می‌گوییم) برابر است. یعنی تمام اعضای مجموعه‌ی دوم، تصویر عضوی از دامنه هستند.

از فرمول تا نمودار: مثال عینی با تابع خطی

فرض کنید قصد دارید با یک ماشین کرایه‌ای به مسافرت بروید. شرکت کرایه ماشین مبلغی ثابت به عنوان هزینه‌ی پایه و مبلغی هم به ازای هر کیلومتر پیموده شده دریافت می‌کند. اگر هزینه‌ی پایه $50$ هزار تومان و نرخ هر کیلومتر $2$ هزار تومان باشد، هزینه‌ی کل بر حسب مسافت طی شده (بر حسب کیلومتر) یک تابع خطی خواهد بود.

اگر مسافت طی شده را با $x$ و هزینه‌ی کل را با $f(x)$ نشان دهیم، رابطه به این صورت است:

حالا می‌توانیم با استفاده از این فرمول، هزینه‌ی سفرهای مختلف را محاسبه کنیم. برای $x=100$ کیلومتر، هزینه $f(100)=2 \times 100 + 50 = 250$ هزار تومان می‌شود. اگر همین چند نقطه را روی کاغذ رسم کنیم و به هم وصل کنیم، یک خط راست به دست می‌آید که همان نمودار تابع خطی ماست. شیب این خط ($2$) نشان‌دهنده‌ی نرخ رشد هزینه بر حسب مسافت است.

چالش‌های مفهومی

پاورقی‌

[¹] تابع (Function): در ریاضیات، به رابطه‌ای بین دو مجموعه که در آن هر عنصر از مجموعه اول (دامنه) به دقیقاً یک عنصر از مجموعه دوم (برد) متصل می‌شود، تابع می‌گویند.

[²] دامنه (Domain): مجموعه تمام مقادیری که می‌توانند به عنوان ورودی به یک تابع داده شوند.

[³] برد (Range): مجموعه تمام مقادیری که یک تابع می‌تواند به عنوان خروجی تولید کند.

[⁴] تصویر (Image): مقدار خروجی یک تابع برای یک ورودی مشخص.

[⁵] تابع یک‌به‌یک (One-to-One / Injective Function): تابعی که در آن عناصر متمایز دامنه، تصاویر متمایزی در برد دارند.

[⁶] تابع پوشا (Onto / Surjective Function): تابعی که در آن برد با مجموعه‌ی مقابل برابر است.