بازهها: زبان ریاضی برای توصیف نامعادلهها
گام نخست: از نامعادله تا خطکشی روی محور
پیش از آنکه بتوانیم مجموعه جواب را به صورت بازه بنویسیم، باید بدانیم چه اعدادی در این مجموعه قرار میگیرند. این کار معمولاً با روش «تعیین علامت»1 انجام میشود. برای یک نامعادله مانند $ (x-2)(x+3) > 0 $، ابتدا ریشههای عبارت را پیدا میکنیم. این ریشهها، محور اعداد حقیقی را به چند بخش تقسیم میکنند. با بررسی علامت عبارت در هر بخش، نواحیای که نامعادله در آنها برقرار است را مشخص میکنیم.
برای مثال، اگر بخواهیم نامعادله $ \frac{x-1}{x-4} \le 0 $ را حل کنیم، ابتدا ریشههای صورت ($x=1$) و مخرج ($x=4$) را پیدا میکنیم. مخرج کسر هیچگاه نمیتواند صفر شود، پس $x=4$ هرگز در جواب نخواهد بود [citation:2]. با رسم جدول تعیین علامت، متوجه میشویم که این عبارت کسری در بازهای بین $1$ و $4$، غیرمثبت (منفی یا صفر) است.
گام دوم: آشنایی با نمادها و انواع بازهها
پس از مشخص شدن بازههای عددی روی محور، نوبت به نوشتن آنها با نماد استاندارد میرسد. بازهها روشی فشرده برای نشان دادن مجموعهای از اعداد حقیقی هستند که بین دو نقطه آغازین و پایانی قرار دارند. در اینجا با انواع اصلی آن آشنا میشویم:
| نوع بازه | نماد ریاضی | نمایش روی محور | شرط (نامعادله) |
|---|---|---|---|
| بسته | $[a, b]$ | خطی از a تا b با دو نقطه توپر | $a \le x \le b$ |
| باز | $(a, b)$ | خطی از a تا b با دو نقطه توخالی | $a \lt x \lt b$ |
| نیمهباز (نیمهبسته) | $[a, b)$ یا $(a, b]$ | خطی از a تا b با یک نقطه توپر و یک توخالی | $a \le x \lt b$ یا $a \lt x \le b$ |
| بینهایتدار | $(-\infty, a]$ یا $(b, +\infty)$ | خطی که تا بینهایت ادامه دارد | $x \le a$ یا $x \gt b$ |
کاربرد عملی: تبدیل جدول تعیین علامت به بازه
مهمترین مهارت، ارتباط بین جدول تعیین علامت و بازه نهایی است. فرض کنید پس از حل یک نامعادله، به جدول زیر رسیدهایم که علامت عبارت $f(x)$ را در نواحی مختلف نشان میدهد [citation:2]:
حال اگر نامعادله ما $f(x) \ge 0$ باشد، باید نواحی مثبت ($+$) و نقاطی که $f(x)=0$ را انتخاب کنیم. نقاط $x=1$ و $x=4$ به دلیل تعریفنشده بودن و صفر نبودن، در جواب نیستند. بنابراین مجموعه جواب به صورت اجتماع دو بازه نوشته میشود:
توجه کنید که $x=-3$ با کروشه بسته $]$ آمده است چون در آن نقطه $f(x)=0$ است و شرط $\ge$ را ارضا میکند. نقطه $x=1$ در هیچ بازهای نمیآید و $x=4$ نیز به همین ترتیب، چون علامت مشخصی ندارند (تعریفنشده).
نمونههای گامبهگام برای تمرین
مثال ۱: مجموعه جواب نامعادله $ x^2 - 5x \le 0 $ را به صورت بازه بنویسید.
۱. عبارت را تجزیه میکنیم: $x(x-5) \le 0$. ریشهها $x=0$ و $x=5$ هستند.
۲. با توجه به اینکه ضریب $x^2$ مثبت است، سهمی رو به بالا بوده و عبارت بین دو ریشه، منفی یا صفر است.
۳. مجموعه جواب بازهای است که $x$ بین $0$ و $5$ قرار میگیرد. با توجه به علامت $\le$، دو سر بازه هم شامل میشوند.
پاسخ$ [0, 5] $
مثال ۲: مجموعه جواب نامعادله $ \frac{2x-1}{x+3} > 0 $ را به صورت بازه بنویسید.
۱. ریشه صورت: $x=\frac{1}{2}$، ریشه مخرج: $x=-3$.
۲. با رسم جدول تعیین علامت، علامت عبارت در نواحی مختلف مشخص میشود [citation:2]:
۳. نامعادله $>0$ است، پس فقط بازه مثبت را برمیداریم. نقطه $x=\frac{1}{2}$ که صورت را صفر میکند، در نامعادلهstrict ($>$) صدق نمیکند و $x=-3$ که مخرج را صفر میکند، اصلاً در دامنه نیست.
پاسخ$ (\frac{1}{2}, +\infty) $
چالشهای مفهومی در نوشتن بازهها
❓ سوال ۱: اگر مجموعه جواب، شامل همه اعداد حقیقی به جز یک نقطه خاص باشد، چگونه آن را با بازه نمایش دهیم؟
پاسخ: در این حالت از نماد اجتماع استفاده میکنیم. برای مثال، اگر جواب همه اعداد حقیقی به جز $x=2$ باشد، آن را به صورت $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ مینویسیم. این نمایش نشان میدهد که تمام اعداد از منفی بینهایت تا ۲ (به جز خود ۲) و همچنین تمام اعداد از ۲ تا مثبت بینهایت (به جز خود ۲) در جواب هستند.
❓ سوال ۲: تفاوت بین $ (a, b) $ و $ [a, b] $ در هنگام نوشتن جواب نامعادله چیست؟
پاسخ: این تفاوت به نقطههای انتهایی بازه برمیگردد. در بازه باز $(a, b)$، نقاط $a$ و $b$ در مجموعه جواب قرار نمیگیرند. این حالت معمولاً برای نامعادلات با علامت $<$ یا $>$ کاربرد دارد. در بازه بسته $[a, b]$، هر دو نقطه انتهایی در جواب قرار میگیرند و برای نامعادلات با علامت $\le$ یا $\ge$ استفاده میشود.
❓ سوال ۳: منظور از $ (-\infty, a] $ چیست و چرا کنار $\infty$ همیشه پرانتز میگذاریم؟
پاسخ: این نماداکسپرس همه اعداد حقیقی کوچکتر یا مساوی $a$ است. بینهایت یک عدد نیست، بلکه یک مفهوم ریاضی برای نشاندادن «بینهایت ادامهداشتن» است. از آنجایی که نمیتوانیم به عدد بینهایت برسیم یا آن را در مجموعه جواب قرار دهیم، همیشه در کنار نماد بینهایت از پرانتز (نشانه باز بودن) استفاده میکنیم.
? جمعبندی سریع
نوشتن مجموعه جواب نامعادله به صورت بازه، پلی است بین جواب تحلیلی و نمایشی ساده و زیبا. کافی است پس از تعیین علامت، نواحی خواسته شده را شناسایی کرده و با دقت به نقاط مرزی (توپر یا توخالی) و استفاده از نماد اجتماع ($\cup$) برای نواحی جدا از هم، آنها را در قالب بازههای استاندارد بنویسیم. همیشه به یاد داشته باشیم که کنار بینهایت پرانتز و برای نقاط مرزی بسته به علامت نامعادله، از پرانتز یا کروشه استفاده کنیم.
پاورقی
1تعیین علامت (Sign Determination): فرآیندی برای مشخص کردن نواحی مثبت، منفی یا صفر بودن یک عبارت ریاضی در بازههای مختلف اعداد حقیقی. این روش پایهایترین تکنیک برای حل نامعادلات است.
