مجموعه جواب نامعادله: از مفهوم تا تعیین بازههای پاسخ
نامعادلات خطی: سادهترین گام به سوی مجموعه جواب
نامعادلات خطی، پایهایترین نوع نامعادلات هستند که در آنها متغیر توان یک دارد. برای حل یک نامعادله خطی، مانند معادله خطی عمل میکنیم، با این تفاوت حیاتی که اگر دو طرف نامعادله را در یک عدد منفی ضرب یا بر آن تقسیم کنیم، جهت نامعادله کاملاً برعکس میشود.
مثال: مجموعه جواب نامعادله $-3x + 6 \le 0$ را بیابید.
گام ۱:
عبارت را به دو طرف نگاه میداریم:
$-3x \le -6$
.
گام ۲:
برای بهدست آوردن
x
، دو طرف را بر
$-3$
تقسیم میکنیم. از آنجا که عدد
$-3$
منفی است، علامت نامعادله را برعکس میکنیم:
$x \ge \frac{-6}{-3}$
.
گام ۳:
با سادهسازی، به جواب نهایی میرسیم:
$x \ge 2$
.
مجموعه جواب این نامعادله، تمام اعداد بزرگتر یا مساوی 2 است که به صورت بازه $[2, +\infty)$ نمایش داده میشود. در این بازه، کروشه بسته $[$ نشاندهنده این است که عدد 2 خود نیز عضوی از مجموعه جواب است.
نامعادلات درجه دوم: ورود به دنیای تعیین علامت
برای نامعادلات درجه دوم مانند $ax^2 + bx + c \gt 0$ یا $\lt 0$ ، روش حل سیستماتیکتر است. در این موارد از روش «تعیین علامت» استفاده میکنیم . مراحل کلی به این شرح است:
- یافتن ریشهها: ابتدا معادله درجه دوم $ax^2 + bx + c = 0$ را حل کرده و ریشههای آن را پیدا میکنیم. فرض کنیم ریشهها $x_1$ و $x_2$ (با $x_1 \le x_2$ ) باشند.
- رسم جدول یا تحلیل علامت: با توجه به علامت ضریب $a$ ، علامت عبارت درجه دوم در سه بازه (چپ ریشهها، بین دو ریشه و راست ریشهها) مشخص میشود.
قانون طلایی تعیین علامت برای عبارت درجه دوم $ax^2 + bx + c$ با دو ریشه متمایز ( $\Delta \gt 0$ ) به این صورت است:
| شرط | بازه $(-\infty, x_1)$ | بازه $(x_1, x_2)$ | بازه $(x_2, +\infty)$ |
|---|---|---|---|
| $a \gt 0$ | مثبت | منفی | مثبت |
| $a \lt 0$ | منفی | مثبت | منفی |
مثال: مجموعه جواب نامعادله $x^2 - x - 6 \gt 0$ را بیابید.
گام ۱ (ریشهیابی):
معادله
$x^2 - x - 6 = 0$
را حل میکنیم. با تجزیه، داریم:
$(x-3)(x+2)=0$
. بنابراین ریشهها
$x_1 = -2$
و
$x_2 = 3$
هستند.
گام ۲ (تحلیل علامت):
در اینجا
$a = 1 \gt 0$
است. طبق قانون، عبارت درجه دوم در خارج از ریشهها (
$x \lt -2$
یا
$x \gt 3$
) مثبت و بین دو ریشه (
$-2 \lt x \lt 3$
) منفی است.
گام ۳ (انتخاب جواب):
نامعادله
$ \gt 0$
است، بنابراین بازههایی را انتخاب میکنیم که عبارت در آنها مثبت است. مجموعه جواب به صورت اجتماع دو بازه است:
$(-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$
.
کاربرد عملی: نامعادله در مسائل بودجهبندی
تصور کنید میخواهید برای یک مهمانی، تعداد x عدد پیتزا سفارش دهید. هر پیتزا ۱۲۰ هزار تومان قیمت دارد و شما حداکثر ۱ میلیون تومان بودجه دارید. برای اینکه بدانید حداکثر چند پیتزا میتوانید بخرید، باید نامعادله زیر را حل کنید: $120000x \le 1000000$ . با حل این نامعادله خطی، داریم $x \le \frac{1000000}{120000} \approx 8.33$ . از آنجا که تعداد پیتزا باید یک عدد صحیح باشد، مجموعه جواب عملی شامل اعداد {$1, 2, 3, ..., 8$} است. این مثال ساده نشان میدهد چگونه مجموعه جواب یک نامعادله میتواند در تصمیمگیریهای روزمره به ما کمک کند .
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ چرا هنگام ضرب در عدد منفی، علامت نامعادله عوض میشود؟
این قانون از روی خط اعداد قابل درک است. برای نمونه، میدانیم $2 \lt 4$ . اگر دو طرف را در $-1$ ضرب کنیم، به $-2$ و $-4$ میرسیم. روی محور اعداد، $-2$ در سمت راست $-4$ قرار دارد، یعنی $-2 \gt -4$ . بنابراین رابطه بزرگتری و کوچکتری معکوس شده است .
❓ آیا یک نامعادله میتواند جواب نداشته باشد؟ مثال بزنید.
بله، برخی نامعادلات هیچ عدد حقیقی را به عنوان جواب نمیپذیرند. برای مثال، نامعادله $x^2 \lt 0$ در مجموعه اعداد حقیقی جواب ندارد، زیرا مربع هر عدد حقیقی همواره نامنفی (صفر یا مثبت) است . مجموعه جواب در این حالت تهی است و با نماد $\varnothing$ نشان داده میشود.
❓ تفاوت بین جواب یک معادله و یک نامعادله چیست؟
معادله معمولاً به دنبال یک یا چند مقدار مشخص (مجموعهای متناهی) است که تساوی را برقرار کنند. اما نامعادله به دنبال بازهای از اعداد (مجموعهای نامتناهی) است که یک نامساوی را برآورده سازند. به عبارت دیگر، معادله نقاط را پیدا میکند، در حالی که نامعادله فاصلهها را معرفی میکند .
مجموعه جواب یک نامعادله، هسته اصلی حل هر نامساوی ریاضی است. از سادهترین نامعادلات خطی تا نمونههای پیچیدهتر درجه دوم و کسری، هدف نهایی یافتن بازهای از اعداد است که در آن شرط داده شده برقرار باشد. تسلط بر روش تعیین علامت و قانون ضرب در عدد منفی، دو ابزار قدرتمند برای رسیدن به این هدف هستند. این مفهوم نهتنها در ریاضیات محض، بلکه در مدلسازی مسائل دنیای واقعی مانند محدودیتهای بودجه، مسائل فیزیکی و بهینهسازی کاربرد گستردهای دارد.
پاورقی
[1] تعیین علامت (Sign Analysis): فرآیندی برای یافتن بازههایی از متغیر است که در آنها یک عبارت جبری مقدار مثبت، منفی یا صفر دارد. این روش پایه اصلی حل نامعادلات درجه دوم و کسری است .
[2] بازه (Interval): مجموعهای از اعداد حقیقی بین دو کرانه که میتواند شامل کرانهها باشد یا نباشد. بازهها روش استانداردی برای نمایش مجموعه جواب نامعادلات هستند. برای نمونه، بازه
$[a,b]$
نشاندهنده همه اعداد بین
a
و
b
، شامل خود آنهاست .
