جدول تعیین علامت: نقشهی راه حل نامعادلات
جدول تعیین علامت یکی از کاربردیترین روشها برای حل نامعادلات و تحلیل رفتار توابع در ریاضیات دبیرستان است. در این مقاله با زبانی ساده یاد میگیرید که چگونه با پیدا کردن ریشهها [1] و نقاط تعریفنشده [2] یک عبارت، جدول آن را رسم کنید. با مثالهای عددی و گامبهگام، فرآیند تعیین علامت عبارتهای خطی، درجه دوم و گویا را مرور میکنیم و یاد میگیریم که چطور از این جدول برای یافتن جواب نامعادلهها استفاده کنیم.
۱. مبانی تعیین علامت: ریشهها و دامنهی عبارت
پیش از هر چیز باید بدانیم که «تعیین علامت» یک عبارت جبری به چه معناست. منظور این است که مشخص کنیم این عبارت در بازههای مختلف روی محور اعداد، مثبت است، منفی است یا صفر میشود. برای این کار به دو گروه از نقاط کلیدی نیاز داریم:
- ریشهها نقاطی هستند که عبارت در آنها صفر میشود. برای پیدا کردن ریشهها، عبارت را برابر صفر قرار داده و معادله را حل میکنیم.
- نقاط تعریفنشده نقاطی هستند که عبارت در آنها معنی ندارد (مانند ریشههای مخرج در عبارتهای گویا). برای یافتن آنها، مخرج را برابر صفر قرار میدهیم.
این نقاط، محور اعداد را به چند بازه تقسیم میکنند. سپس با انتخاب یک عدد آزمایشی از هر بازه و جایگذاری در عبارت، علامت آن را در کل بازه مشخص میکنیم.
۲. گامهای عملی برای رسم جدول تعیین علامت
فرآیند رسم جدول را در ۵ گام اصلی میتوان خلاصه کرد. فرض کنید میخواهیم عبارت $f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x-3}$ را تعیین علامت کنیم.
- یافتن ریشهها: صورت را صفر میگذاریم: $(x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=2 , x=-1$. اینها نقاط صفر عبارت هستند.
- یافتن نقاط تعریفنشده: مخرج را صفر میگذاریم: $x-3=0 \Rightarrow x=3$. این نقطه جزء دامنه نیست.
- مرتبسازی و درج در جدول: تمام نقاط یافتشده را به ترتیب از کوچک به بزرگ مرتب کرده و در ردیف اول جدول مینویسیم: $-1$, $2$, $3$.
- تعیین بازهها: این نقاط، محور اعداد را به چهار بازه تقسیم میکنند: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$, $(2, 3)$ و $(3, +\infty)$.
- آزمایش علامت: از هر بازه یک عدد ساده انتخاب کرده و در $f(x)$ جایگذاری میکنیم تا علامت آن بازه مشخص شود. مثلاً برای بازه اول عدد $-2$: $f(-2)=\frac{(-4)(-1)}{-5}=\frac{+4}{-5}=-$ (منفی). همین کار را برای بقیه بازهها انجام میدهیم.
| بازه | عدد آزمایشی | علامت صورت | علامت مخرج | علامت کلی |
|---|---|---|---|---|
| $(-\infty, -1)$ | $-2$ | $+$ | $-$ | منفی |
| $(-1, 2)$ | $0$ | $-$ | $-$ | مثبت |
| $(2, 3)$ | $2.5$ | $+$ | $-$ | منفی |
| $(3, +\infty)$ | $4$ | $+$ | $+$ | مثبت |
۳. کاربرد عملی: حل نامعادله با کمک جدول
فرض کنید میخواهیم نامعادله $\frac{(x-2)(x+1)}{x-3} \ge 0$ را حل کنیم. جدولی که در بخش قبل رسم کردیم، علامت عبارت را در هر بازه نشان میدهد. ما بازههایی را میخواهیم که علامت عبارت «مثبت» یا «صفر» باشد. با توجه به جدول:
- بازه $(-1, 2)$ مثبت است.
- بازه $(3, +\infty)$ مثبت است.
- نقاط ریشه یعنی $x=-1$ و $x=2$، عبارت را صفر میکنند. چون نامعادله از نوع $\ge$ است، این نقاط را نیز به جواب اضافه میکنیم.
- نقطه $x=3$ تعریفنشده است و هرگز نمیتواند جزو جواب باشد.
پس مجموعه جواب برابر است با: $[-1, 2] \cup (3, +\infty)$.
۴. چالشهای مفهومی در تعیین علامت
❓ اگر عبارت دارای ریشهای با تکرار زوج باشد، علامت در دو طرف آن نقطه چگونه تغییر میکند؟
در ریشههای با تکرار زوج (مانند $(x-1)^2$)، علامت عبارت پس از عبور از ریشه تغییر نمیکند. چون عبارت همواره غیرمنفی است. اما در ریشههای با تکرار فرد، علامت عوض میشود.
❓ اگر در یک نامعادله، صورت و مخرج دارای فاکتور مشترک باشند، چه باید کرد؟
فاکتورهای مشترک را باید ساده کنیم، اما باید دقت کنیم که نقطهای که آن فاکتور را صفر میکند، اگرچه از صورت و مخرج حذف میشود، اما همچنان در دامنهٔ عبارت اصلی تعریفنشده است و باید به عنوان نقطهٔ مبنا در جدول لحاظ شود.
❓ چگونه میتوان از جدول تعیین علامت برای تحلیل توابع چندجملهای استفاده کرد؟
برای چندجملهایها کافی است ریشههای آن را یافته، روی محور مرتب کرده و با انتخاب یک عدد از هر بازه، علامت را بیابیم. چندجملهایها هیچ نقطه تعریفنشدهای ندارند، پس کار سادهتر است.
۵. مقایسه انواع عبارتها از نظر تعیین علامت
| نوع عبارت | نقاط تعریفنشده | ریشهها | مثال |
|---|---|---|---|
| چندجملهای خطی | ندارد | $x = -\frac{b}{a}$ | $2x-4$ |
| چندجملهای درجه دوم | ندارد | حداکثر ۲ ریشه | $x^2-5x+6$ |
| عبارت گویا | ریشههای مخرج | ریشههای صورت | $\frac{x}{x-1}$ |
| عبارت رادیکالی | تساوی زیر رادیکال با منفی (در $\sqrt{f(x)}$) | $f(x)=0$ | $\sqrt{x-3}$ |
۶. یک مثال ترکیبی برای جمعبندی
میخواهیم نامعادله $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 3} \lt 0$ را حل کنیم. ابتدا صورت و مخرج را فاکتورگیری میکنیم: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ و $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. ریشههای صورت: $x=-2$ و $x=2$. نقاط تعریفنشده (ریشههای مخرج): $x=1$ و $x=3$. این چهار نقطه به ترتیب $-2$، $1$، $2$، $3$ هستند و محور را به پنج بازه تقسیم میکنند. با آزمایش یک عدد از هر بازه، علامت عبارت را مییابیم:
| بازه | عدد آزمایشی | علامت عبارت |
|---|---|---|
| $(-\infty, -2)$ | $-3$ | مثبت |
| $(-2, 1)$ | $0$ | منفی |
| $(1, 2)$ | $1.5$ | مثبت |