پیشامدها در فضای غیرهمشانس: جمع زدن احتمالهای ساده
۱. فضای نمونهای متناهی و احتمال پیامدها
در نظریه احتمال، یک آزمایش تصادفی را در نظر بگیرید که نتیجه آن تعدادی حالت ممکن است. مجموعه همه این حالتها را فضای نمونهای مینامیم و آن را با نماد $S$ نشان میدهیم. اگر تعداد اعضای $S$ تعداد متناهی باشد، به آن فضای نمونهای متناهی میگوییم. برای مثال، پرتاب یک سکه معمولی دو نتیجه «رو» و «پشت» دارد؛ پس $S=\{ \text{رو}, \text{پشت} \}$. یا پرتاب یک تاس سالم، شش وجه دارد: $S=\{1,2,3,4,5,6\}$.
در حالت کلی، هر یک از اعضای فضای نمونهای (هر پیامد) احتمال وقوع مشخصی دارد. اگر همه پیامدها شانس برابر داشته باشند، فضای همشانس داریم. اما در بسیاری از مسائل دنیای واقعی، پیامدها همشانس نیستند. برای نمونه، اگر تاس به گونهای طراحی شده باشد که عدد ۶ سنگینتر است، احتمال آمدن اعداد مختلف یکسان نخواهد بود. در این فضاها، به هر پیامد $a_i$ یک عدد غیرمنفی به نام احتمال، یعنی $P(a_i)$ نسبت میدهیم، بهطوری که مجموع احتمال همه پیامدها برابر $1$ باشد ($\sum_{i=1}^{n} P(a_i) = 1$).
۲. پیشامد و قانون جمعپذیری احتمال
پیشامد2 زیرمجموعهای از فضای نمونهای است. اگر پیشامد $A$ شامل چند پیامد مانند $a_1, a_2, \dots, a_k$ باشد، آنگاه احتمال وقوع پیشامد $A$ برابر است با مجموع احتمالهای تک تک آن پیامدها. این قاعده را به زبان ریاضی میتوان به این صورت نوشت:
این قانون در حقیقت از اصول اولیه احتمال (اصل جمع) ناشی میشود. به بیان ساده، برای محاسبه احتمال وقوع یک رویداد (پیشامد) در یک فضای متناهی، کافی است احتمال تمام حالتهایی که آن رویداد را تشکیل میدهند با هم جمع کنیم. دقت کنید که این قاعده فقط وقتی درست است که پیامدهای داخل پیشامد، ناسازگار (دو به دو متمایز) باشند؛ یعنی نتوانند همزمان اتفاق بیفتند. در فضای نمونهای، پیامدها ذاتاً ناسازگار هستند، پس این شرط همواره برقرار است.
۳. کاربرد عملی: محاسبه احتمال در مسائل واقعی
برای درک بهتر این قانون، به چند مثال عملی توجه کنید. فرض کنید در یک کیسه، $5$ توپ قرمز و $3$ توپ آبی داریم. اگر توپها را از نظر فیزیکی یکسان در نظر بگیریم، اما رنگ متفاوت باشد، این فضا همشانس نیست زیرا شانس کشیدن هر توپ قرمز با هر توپ آبی متفاوت است (اگر چه توپهای همرنگ با هم شانس برابر دارند). فضای نمونهای در اینجا مجموعه $8$ توپ است. احتمال انتخاب هر توپ قرمز $\frac{1}{8}$ و هر توپ آبی نیز $\frac{1}{8}$ است (چون همه توپها از نظر فیزیکی یکسان و احتمال انتخابشان برابر است). پیشامد «قرمز بودن» شامل $5$ پیامد است، پس:
مثال دیگر: فرض کنید یک فروشگاه اینترنتی بررسی کرده است که از هر $100$ بازدیدکننده، $60$ نفر زن و $40$ نفر مرد هستند. اگر یک بازدیدکننده بهطور تصادفی انتخاب شود، فضای نمونهای مجموعه افراد است و احتمال انتخاب هر فرد خاص $\frac{1}{100}$ است. پیشامد «انتخاب یک زن» شامل $60$ پیامد است، پس احتمال آن $60 \times \frac{1}{100} = 0.6$ میشود. اینجا هم از قانون جمعپذیری استفاده کردهایم، اگرچه در نگاه اول ممکن است همه افراد شانس یکسان داشته باشند، اما پیشامد مورد نظر (زن بودن) شامل چندین پیامد همشانس است.
| ویژگی | فضای همشانس | فضای غیرهمشانس |
|---|---|---|
| احتمال هر پیامد | $\frac{1}{n}$ (یکسان) | میتواند متفاوت باشد |
| محاسبه احتمال پیشامد | $\frac{|A|}{|S|}$ | $\sum_{a_i \in A} P(a_i)$ |
| مثال | تاس سالم، سکه سالم | تاس نامتقارن، چرخ گردان نابرابر |
۴. چالشهای مفهومی
این قانون برای فضاهای متناهی بهسادگی قابل استفاده است. در فضاهای نامتناهی شمارا3 (مثل اعداد طبیعی)، اصل جمعپذیری به صورت سریهای نامتناهی تعریف میشود. برای فضاهای نامتناهی ناشمارا، مفهوم احتمال به انتگرال و تابع چگالی احتمال گسترش مییابد که از حوصله این بحث خارج است.
زیرا فرمول $\frac{|A|}{|S|}$ فقط وقتی معتبر است که همه پیامدها احتمال یکسان داشته باشند. اگر پیامدها همشانس نباشند، این فرمول نتیجه نادرستی میدهد. برای مثال در چرخ گردان با مساحتهای نابرابر، احتمال توقف روی قرمز $0.5$ است، در حالی که با تقسیم $\frac{1}{3}$ بهدست میآید که اشتباه است.
بله. اگر پیشامد $A$ برابر با کل فضای نمونهای $S$ باشد، آنگاه $P(A) = P(S) = \sum_{i=1}^{n} P(a_i) = 1$. به این پیشامد، پیشامد حتمی میگویند. همچنین اگر $A$ تهی باشد، احتمال آن صفر است و آن را پیشامد ناممکن مینامیم.
پاورقی
2 پیشامد (Event): هر زیرمجموعه از فضای نمونهای که به وقوع یک نتیجه خاص یا مجموعهای از نتایج دلالت دارد.
3 شمارا (Countable): مجموعهای که بتوان آن را با اعداد طبیعی شمارهگذاری کرد، مانند مجموعه اعداد طبیعی یا مجموعه اعداد گویا.
