پیشامد ساده: از تعریف تا کاربرد در محاسبه احتمال
فضای نمونه و جایگاه پیشامد ساده
هر آزمایش تصادفی مجموعهای از تمام نتایج ممکن را دارد که به آن فضای نمونه1 میگویند. برای مثال، پرتاب یک تاس سالم را در نظر بگیرید. فضای نمونه این آزمایش شامل 6 نتیجهٔ ممکن است: {۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶}. هر یک از این اعداد، یک پیشامد ساده محسوب میشوند. دلیل این نامگذاری آن است که این پیشامدها دیگر به پیشامدهای کوچکتری قابل تقسیم نیستند. به عبارت دیگر، یک پیشامد ساده2 یک نقطه در فضای نمونه است.
برای روشنتر شدن مفهوم، یک مثال دیگر میزنیم. پرتاب دو سکه را در نظر بگیرید. فضای نمونه این آزمایش به صورت زیر است:
در اینجا هر یک از جفتهای (ش، ش) یا (ش، خ) یک پیشامد ساده هستند. اما اگر بخواهیم پیشامد «حداقل یک بار شیر آمدن» را بررسی کنیم، این پیشامد از اجتماع سه پیشامد ساده (ش، ش)، (ش، خ) و (خ، ش) تشکیل شده و به آن پیشامد مرکب3 میگوییم.
نمادگذاری و فرمول احتمال یک پیشامد ساده
در نظریه احتمال، پیشامدهای ساده را معمولاً با حروف کوچک مانند a، b یا همان نتیجهٔ عددی نشان میدهند و احتمال وقوع آنها به صورت P(a) نوشته میشود. اگر فضای نمونهای دارای n پیشامد ساده باشد و همهٔ آنها همشانس4 باشند، احتمال هر پیشامد ساده برابر است با:
برای نمونه، در پرتاب یک تاس سالم، احتمال آمدن هر یک از اعداد ۱ تا ۶ به صورت زیر محاسبه میشود:
در اینجا P(3) یعنی احتمال این پیشامد ساده که تاس عدد ۳ را نشان دهد. نکته مهم این است که مجموع احتمال همهٔ پیشامدهای ساده در یک فضای نمونه همواره برابر ۱ است.
| ویژگی | پیشامد ساده | پیشامد مرکب |
|---|---|---|
| تعداد اعضا | 1 عضو | 2 عضو یا بیشتر |
| نمونه در پرتاب تاس | {۴} | {۲, ۴, ۶} (اعداد زوج) |
| نماد احتمال | $P(a)$ | $P(A)$ که $A \subseteq S$ |
| قابل تجزیه | خیر | بله |
کاربرد عملی: شانس برنده شدن در یک قرعهکشی
فرض کنید در یک جشن مدرسه، یک قرعهکشی برگزار میشود. در یک کیسه، ۱۰۰ برگه که روی هر کدام یک شمارهٔ یکتا از ۱ تا ۱۰۰ نوشته شده، قرار دارد. اگر شما یک برگه بخرید، پیشامد سادهٔ برنده شدن شما، خارج شدن همان برگهٔ خاص از کیسه است. از آنجایی که همهٔ برگهها شانس برابر دارند، احتمال این پیشامد ساده برابر است با:
یعنی شما ۱ درصد شانس برنده شدن دارید. حال اگر یک دوست شما نیز یک برگه بخرد، پیشامد «برنده شدن یکی از شما دو نفر» یک پیشامد مرکب خواهد بود که از اجتماع دو پیشامد ساده تشکیل شده است. این مثال ساده نشان میدهد که چگونه مفاهیم پایهای احتمال در زندگی روزمره کاربرد دارند.
در مثالی دیگر، فرض کنید یک کیف شامل ۵ خودکار قرمز، ۳ خودکار آبی و ۲ خودکار سبز است. اگر به تصادف یک خودکار برداریم، فضای نمونه شامل ۱۰ پیشامد ساده است (هر خودکار یک پیشامد). احتمال اینکه خودکار قرمز برداریم، یک پیشامد مرکب شامل ۵ پیشامد ساده است:
چالشهای مفهومی
❓ آیا پیشامد «آبی بودن آسمان» یک پیشامد ساده است؟
پاسخ: خیر. برای اینکه یک پیشامد را ساده بنامیم، باید در چارچوب یک آزمایش تصادفی تعریف شده باشد. «آبی بودن آسمان» یک آزمایش تصادفی با فضای نمونه مشخص نیست، بنابراین نمیتوان آن را یک پیشامد ساده در نظریه احتمال محسوب کرد. پیشامد ساده همیشه به نتایج یک آزمایش تصادفی خاص وابسته است.
❓ در پرتاب دو تاس، چرا (۳, ۵) یک پیشامد ساده است اما مجموع ۸ اینطور نیست؟
پاسخ: (۳, ۵) دقیقاً یک نتیجهٔ منحصربهفرد از آزمایش را نشان میدهد (تاس اول ۳ و تاس دوم ۵)، بنابراین یک پیشامد ساده است. اما مجموع ۸ میتواند از چندین نتیجهٔ متفاوت مانند (۲, ۶)، (۳, ۵)، (۴, ۴)، (۵, ۳) و (۶, ۲) به دست آید. این اجتماع از چند پیشامد ساده است، پس یک پیشامد مرکب محسوب میشود.
❓ آیا ممکن است یک پیشامد ساده بیش از یک بار در یک آزمایش رخ دهد؟
پاسخ: خیر. هر پیشامد ساده نشاندهندهٔ یک و تنها یک نتیجه از آزمایش است. اگر آزمایش را تکرار کنیم، ممکن است همان نتیجه دوباره به دست آید، اما در هر بار اجرای آزمایش، فقط یکی از پیشامدهای ساده (نتیجهها) رخ میدهد. به عنوان مثال، در پرتاب یک تاس، یا عدد ۲ میآید یا نمیآید. همزمان دو نتیجه ممکن نیست.
? جمعبندی
پیشامد ساده، عنصر بنیادی فضای نمونه و سنگ بنای علم احتمال است. درک درست آن به ما کمک میکند تا بتوانیم پیشامدهای پیچیدهتر را به اجزای سادهتر بشکنیم و احتمال آنها را با دقت محاسبه کنیم. هر پیشامد ساده با نماد P(a) نمایش داده میشود و در شرایط همشانسی، احتمال آن از تقسیم ۱ بر تعداد کل اعضای فضای نمونه به دست میآید. به خاطر داشته باشید که تشخیص یک پیشامد ساده از مرکب، اولین و مهمترین گام در حل مسائل احتمال است.
پاورقی
1 فضای نمونه (Sample Space): مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی که معمولاً با نماد $S$ نمایش داده میشود.
2 پیشامد ساده (Simple Event): پیشامدی که تنها شامل یک عضو از فضای نمونه باشد و نتوان آن را به پیشامدهای کوچکتر تقسیم کرد.
3 پیشامد مرکب (Compound Event): پیشامدی که از اجتماع دو یا چند پیشامد ساده تشکیل شده باشد.
4 همشانس (Equally Likely): وضعیتی که در آن تمام پیشامدهای ساده یک فضای نمونه، احتمال وقوع برابر داشته باشند.
