متمم پیشامد: پیشامدی که شامل همهٔ حالت‌های فضای نمونه به‌جز حالت‌های A است و با A′ نشان می‌دهند.

متمم پیشامد: کلید درک احتمال در فضای نمونه

تعریف و نمادگذاری متمم پیشامد

در نظریه احتمال، هر آزمایش تصادفی مجموعه‌ای از تمام حالت‌های ممکن را دارد که به آن «فضای نمونه»⁴ می‌گوییم و معمولاً با S نشان می‌دهیم. هر زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه را یک «پیشامد» می‌نامیم. حال اگر پیشامد A را در نظر بگیریم، متمم آن که با A′ یا A^c نمایش داده می‌شود، شامل تمام حالت‌هایی از فضای نمونه است که در A وجود ندارند. به عبارت ساده‌تر، متمم یک پیشامد یعنی «رخ ندادن آن پیشامد». برای درک بهتر، یک مثال ساده می‌زنیم: پرتاب یک تاس سالم را در نظر بگیرید. فضای نمونه این آزمایش S = {۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶} است. اگر پیشامد A برابر «آمدن عدد فرد» باشد، یعنی A = {۱, ۳, ۵}. در این صورت متمم A (یعنی A′) برابر «نیامدن عدد فرد» یا همان «آمدن عدد زوج» است: A′ = {۲, ۴, ۶}. همانطور که می‌بینید، اشتراک A و A′ مجموعه تهی (هیچ حالت مشترکی ندارند) و اجتماع آنها برابر کل فضای نمونه است. بیایید این مفهوم را با یک مثال عملی دیگر گسترش دهیم. فرض کنید در یک کیسه 10 توپ داریم: 4 توپ قرمز، 3 توپ آبی و 3 توپ سبز. فضای نمونه شامل همه توپ‌هاست. پیشامد B را «انتخاب توپ قرمز» تعریف می‌کنیم. متمم B (B′) یعنی «انتخاب توپ غیرقرمز» که شامل تمام توپ‌های آبی و سبز می‌شود. تعداد حالت‌های مطلوب برای B′ برابر 6 (3 آبی + 3 سبز) است.

قانون مکمل در محاسبه احتمالات

مهم‌ترین دستاورد مفهوم متمم، قانونی است که رابطه بین احتمال یک پیشامد و متمم آن را بیان می‌کند. از آنجایی که اجتماع A و A′ کل فضای نمونه را پوشش می‌دهد و این دو هیچ اشتراکی ندارند، داریم: $P(A \cup A') = P(S) = 1$ و از آنجایی که $P(A \cup A') = P(A) + P(A')$ (به دلیل ناسازگار بودن A و A′)، نتیجه می‌گیریم: $P(A) + P(A') = 1$ یا به شکل معروف‌تر: این قانون شاید ساده به نظر برسد، اما یکی از قدرتمندترین ابزارها در حل مسائل احتمال است. گاهی اوقات محاسبه مستقیم احتمال یک پیشامد (مثلاً A) بسیار دشوار است، اما محاسبه احتمال متمم آن (A′) آسان است. در چنین شرایطی می‌توانیم با استفاده از این قانون، احتمال A را به سادگی به دست آوریم. برای مثال، اگر بخواهیم احتمال این را پیدا کنیم که در 4 بار پرتاب یک سکه، حداقل یک بار «رو» بیاید. محاسبه مستقیم این احتمال نیاز به بررسی حالت‌های مختلف (یک بار رو، دو بار رو، سه بار رو و چهار بار رو) دارد. اما اگر متمم این پیشامد را در نظر بگیریم، یعنی «هیچ‌کدام رو نیایند» یا همان «همه‌ی پرتاب‌ها پشت بیایند»، محاسبه آن بسیار ساده‌تر است. احتمال آمدن پشت در هر پرتاب $\frac{1}{2}$ است، پس احتمال اینکه هر چهار بار پشت بیایند برابر است با: $P(\text{همه پشت}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ بنابراین احتمال پیشامد مورد نظر (حداقل یک بار رو) برابر است با: $P(\text{حداقل یک رو}) = 1 - P(\text{همه پشت}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ می‌بینید که چقدر این روش ساده‌تر از محاسبه مجموع احتمالات حالت‌های متعدد است.

کاربرد متمم در مسائل پیشرفته‌تر احتمال

مفهوم متمم تنها به مسائل ساده ختم نمی‌شود و در مباحث پیچیده‌تری مانند احتمال شرطی⁵ و پیشامدهای مستقل نیز کاربرد دارد. به عنوان مثال، گاهی اوقات برای محاسبه احتمال اشتراک چند پیشامد (وقوع همزمان چند رویداد) از متمم استفاده می‌کنیم. فرض کنید دو پیشامد A و B داریم. احتمال وقوع حداقل یکی از آنها (اجتماع دو پیشامد) از رابطه زیر به دست می‌آید: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ اما گاهی اوقات محاسبه $P(A \cup B)$ با این روش دشوار است. در عوض، می‌توانیم به سراغ متمم آن برویم. متمم $A \cup B$ یعنی «هیچ‌کدام از A و B رخ ندهند» که برابر است با اشتراک متمم‌های آنها: $A' \cap B'$. طبق قانون دوگان دی‌مورگان⁶، داریم: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ و بنابراین: $P(A \cup B) = 1 - P(A' \cap B')$ یک مثال عینی: در یک کارخانه، احتمال تولید محصول معیوب توسط دستگاه اول $0.05$ و توسط دستگاه دوم $0.08$ است. اگر عملکرد دستگاه‌ها مستقل از هم باشد، احتمال اینکه حداقل یکی از دستگاه‌ها محصول معیوب تولید کند چقدر است؟ اگر مستقیم بخواهیم حساب کنیم، باید احتمال معیوب بودن هر دو را هم محاسبه و از قانون اجتماع استفاده کنیم. اما با کمک متمم، ابتدا احتمال اینکه هیچ‌کدام محصول معیوب تولید نکنند را محاسبه می‌کنیم. احتمال سالم بودن محصول دستگاه اول $0.95$ و دستگاه دوم $0.92$ است. با توجه به استقلال: $P(\text{هیچکدام معیوب نباشند}) = 0.95 \times 0.92 = 0.874$ بنابراین احتمال حداقل یکی معیوب باشد: $P(\text{حداقل یکی معیوب}) = 1 - 0.874 = 0.126$ برای درک بهتر تفاوت و کاربرد متمم، جدول زیر مقایسه‌ای بین یک پیشامد و متمم آن ارائه می‌دهد:

چالش‌های مفهومی در درک متمم

کاربردهای عملی متمم در زندگی روزمره

مفهوم متمم تنها محدود به کلاس درس نیست و در بسیاری از جنبه‌های زندگی روزمره و علوم مختلف کاربرد دارد. به عنوان مثال، در علم آمار و تحلیل داده‌ها، گاهی اوقات تحلیل «مخالف» یک رویداد ساده‌تر است. در پزشکی، «متمم یک بیماری» به معنای سلامت از آن بیماری است. در مهندسی قابلیت اطمینان، برای محاسبه احتمال از کار افتادن یک سیستم، گاهی ابتدا احتمال کارکرد صحیح آن (متمم خرابی) را محاسبه می‌کنند. یک مثال ملموس: در هواشناسی، اگر احتمال بارش باران در یک روز $30\%$ اعلام شود، در واقع احتمال متمم آن یعنی «بارش نداشتن» را می‌توان به راحتی $70\%$ به دست آورد. یا در یک نظرسنجی سیاسی، اگر بدانیم $48\%$ از مردم به کاندیدای الف رأی می‌دهند، نتیجه می‌گیریم $52\%$ بقیه (متمم) به او رأی نمی‌دهند (با فرض عدم وجود آرای سفید و ممتنع).

پاورقی

¹ پیشامد (Event): به هر زیرمجموعه از فضای نمونه که برای آن احتمال تعریف می‌شود، پیشامد می‌گویند.
² پیشامدهای مکمل (Complementary Events): دو پیشامد که اشتراکشان تهی و اجتماعشان برابر فضای نمونه است.
³ قانون مکمل بودن (Complement Rule): قانونی که بیان می‌کند مجموع احتمال یک پیشامد و متمم آن برابر 1 است.
⁴ فضای نمونه (Sample Space): مجموعه تمام پیامدهای ممکن یک آزمایش تصادفی.
⁵ احتمال شرطی (Conditional Probability): احتمال وقوع یک پیشامد به شرط وقوع پیشامد دیگر.
⁶ قوانین دوگان دی‌مورگان (De Morgan's Laws): قوانینی در منطق و نظریه مجموعه‌ها که رابطه بین اجتماع و اشتراک را از طریق متمم‌گیری بیان می‌کنند: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ و $(A \cap B)' = A' \cup B'$.